[離散]4版-以下是我最近發現可能有錯誤之地方

Chapter01
以下是我最近發現可能有錯誤之地方，
由於能力有限，若是改正為錯之地方，請多多指教.
檔案已轉為PDF了..方便大家觀看

http://www.badongo.com/file/4539179

[線代三版] 定理 6-10 證明

在 6-31 頁中證明

(1) 若 m =0 , 則 0 不為 Pt(x)=0的根

<過程略…>

其中證明寫到
ker(T) = {0} => 所以 T 為可逆函數

我覺得這裡的寫法是不是有點小瑕疵？


因為可逆函數必須 1-1 且 onto ，ker(T) = {0} 只保證 1-1 ，還缺 onto .

所以是不是證明要加上 V= ker(T^k)⊕Im(T^k)
因為 ker(T^k) = {0} => Im(T^k) = V => Im(T)=V
所以 才保證 Onto ？

雖然前面的證明已經有隱含這個結果，但是不是一定要寫1-1 和 Onto 才可以寫 T 為可逆函數？

不曉得各位的想法如何？ ^^

[線代三版] 定理 6-13 證明

證明 K(λ) 為 T 的不變子空間。

也就是證明 " T(K(λ)) 包含於 K(λ) "

在 6-35 第(2)部份的倒數第二行：

=> (T-λI)^p (T(v)) = T(T-λI)^p (v) = T(0)=0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

請問這問是如何寫出來的呢？ 如何把 T 拉到外面去？

也就是 A * T(B) 的結構變成 T(A*B) 。


如果把T當成矩陣，這就是交換相乘的順序了。這是依什麼理由呢？

[線性代數]矩陣 A 的所有 eigenvalue相乘 = det(A) ?

老師上課有提過一次

不過好像沒特別証

課本上我也找不到

有誰可以証給我看呢?

因為我想知道為什麼......(太神奇了)

或者告訴我 課本哪邊有?

離散數學第四版習題解答勘誤

離散數學第四版習題解答勘誤（PDF檔）

5-70~5-72範例4與範例5

範例四中..

解答先利用中間的遞回算出b3

再利用第一個遞回式子 再條件 n>=4 用生成函數法去解 ..

想問的是 ..

(1)圖2我畫圈圈的地方起始條件寫n>=1是如何得知??

範例五中 ..

個人認為題型是一模一樣..

(2)同樣我不清楚r的起始條件為啥寫完就知道是>=1

(3)再來紅筆圈起來的地方 為啥不直接寫 a0=0就好

上面(1)(2)(3)個問題 .. 先感謝回答了^^

四版p11-33第六題(a)

可以用45度下去做嗎

[LA三版勘誤]分類題庫 4-77題 P.211

b部分的span基底好像算錯了
所以導致後面Im(T)
但後面的P.212的C部分又把B寫成
[1 -1]
[1 -1]
和題目的
[1 -1]
[1 1]
不一樣!
所以不知道是題目打錯?
還是老師筆誤?
還是我手殘算錯了= =?(我算了兩次)

P.S
在算的過程中對解答，
有時候會發現一些數字上算錯的答案，
這樣需要來這裡PO文告知嗎？
還是說自己知道就好了？
我發文是想說老師方便整理勘誤的內容！

[離散]第九章代數結構 9-2 精選範例 2

[離散]第九章代數結構 9-2 精選範例 2 p9-25
題目如下
Let G be a semigroup, for all a, b 屬於 G, ax=b and ya=b always have a common solution in G, prove G is a group

我的問題是

• common solution 代表?
• 解答中求出來的單位元素 代入題目 ax=b and ya=b 會變成 ae=b and ea=b 但一單位原宿性質來看不是應該為 ae=a and ea=a嗎?
  

麻煩了...

[離散]第九章代數結構 精選範例 4

有疑問之題目如下
For each of the following cases, determine whether the set under the binary
operation * forms a semigroup or a monoid. Please explain why.
(2) The set of finite sequences of 0's and 1's containing an even number of 1's with *denoting the catenation operation

我的疑惑在於題目只說1's 為containing an even number of 1's

但是沒有說明0's

解答也沒有用到 0's

還是說題目的0's事來搗亂的?

麻煩幫我解答囉~
謝謝

想請問一下這個題目,老師在CH5-1的時候講的一個題目 . 想問的第一個問題是 : 為什麼可以把T的函數用成AX來表示?那可以用 BX來表示嗎?這種表示法 是我們自己來令的嗎? 第二個問題是 為什麼知道要令 r = { e3 , e2 , e1 } 是先令 一個 r 然後去試試看 滿不滿足[T]r = B 嗎 ? 還是說 是用哪一個觀念呢? 為什麼會知道 r 要這樣令 ? 希望有好心人 解答一下 謝謝

[LA三版勘誤]分類題庫 4-43題 P.191

4-43題的解答好像是錯的?

我算出 a,b,c=2,1,-3

可是解答上是 a,b,c=12,-9,7

行列式第三行 b+2c=-5 => -9+2(7)=5

應該是解答算錯囉?

所以最後T(3 1 -5)的答案應該也是錯的!

我解出來是 T(3 1 -5)=(-4 3 4)

二版p.2-4定理2 & p.2-24注意事項7

二版p.2-4定理2

證明第8行"當i=1時，因為A,B,C只有第1列不同外"

為什麼A,B,C只有第1列會不同?

p.2-24注意事項7的反例怎舉?

二版p.4-46範例3 & p.4-48範例5

二版p.4-46範例3
題目提到一個函數定義為
T(v) = [ v(t)-v(0) ] /t
把(1+t)代入=>(1+t-1)/t，我不曉得分子的部份為什麼會變那樣
還是說題目有誤應該變這樣-函數定義為
T(v) = [ T(v)-T(0) ] /t

p.4-48範例5
解答的第二行
(3/2) - (1/2)cos2x =" (3/2)(cos^2 x + sin^2 x) - (1/2)(cos^2 x - sin^2 x) "
不懂等於的左邊怎麼變右邊的~想法是？

1-1? onto? 1-1且onto?

什麼是1-1? 什麼是onto? 什麼是1-1且onto?
誰可以用比較簡單的例子或者方式講解？ 我有點聽不太懂...
我的想法是
1-1的話，我舉例
y=5x+1 (一對一)
y=x^2+ 3 (非一對一, 因 x=2 或 -2 時, y 都等於 7)
所以是只要for all定義域"可以"對應到的值域的值不要相同就符合 1-1?
但是如果for all定義域"無法"對應到的值域的值，但其他可對應的無相同就符合 1-1?

而onto的話
for all對應域的值都可以被定義域對應到即使重複也沒有關係，就算是 onto ?

所以1-1且onto的話就是
for all 對應域的值都可以被定義域的值所對應到只要不重複，這樣就算是1-1且onto嗎？



我不清楚我這樣的想法是不是對的，請各位指教囉！

[線代]第三章 向量空間

[DM]CH01習題71 P1-93，應該打錯了吧!

A sequence of numbers a1, a2, a3,...is defined by
a0=1, a1=1, and
an=an-1+an-2 , n>=3 (應該是n>=2吧!不然a2就被吃掉了..)
.
.
以下...略
(86. 朝陽資管)

[DM]Combinatorial Question..

請問一下，這個是...
C(2,3)=?
Ans1：0 or 無意義

C(2,-1)=?
Ans2：0 or 無意義

4版p.3-77範例三(b)

為什麼要這樣令A=X+iY，想法是?

問個離散課本13-27證明小問題

不知道為啥是for some?

我覺得是for all 耶

[離散]習題75

A sequence of numbers a1,a2,a3,...is defined by
a1=1, a2=1, and
an=an-1+an-2, n>=3
(a) prove that am+n=an-1*am+an*am+1

請問為何不對n做induction，而要對m呢？

[線代]這地方好像打錯? 分類題庫 P.132 三版

紅色的那裡應該是b1 , b2 , b3 吧？跟著後面好像都錯囉？
分類題庫解答 三版 P.132和P.133 Ex3-54的(b) (87清大電機)

2-103 與 2-104 之 範例四 與 範例五

此二題為 2-103 與 2-104 之 範例四 與 範例五

範例四我使用老師上課證有理數的証法 .. 並且有一一對應且找到函式 ..

範例五 我用數學歸納法 上圖只有 當n=k+1時 ..

不知這兩種方法可以嗎?? Thanks ..

可逆的充要條件

老師上課的時候是講 n x n ，
那如果我這樣想的話....
A:m*n 且可逆
<=> A:行獨立 in F^(m*1)
<=> A:行基底 in F^(m*1)
<=> A:行生成 in F^(m*1) <=> CS(A)=F^(m*1) <=> dim(CS(A))=n

我上面寫的想法有錯誤的地方嗎？就是以m和n的角度去看了話...

[線性代數]6-6- MINIMAL POLY.

老師說的MINIMAL

求法 是從特徵多項式去找的

但是我覺得他的方法 有點怪怪

如果我們的特徵多項式 很多項且次方很高

那我們寫出來的可能性不就很多

之後再一個一個代

代完都下課了吧 (雖說考試 可能只考 3*3 左右的)

但 是否有更好的方法呢

線代分類題庫(三版)3-6題

3-6 The only vector space that contains a finite number of vectors is the zero
vector space Z = {0}.
解:False

請問這題為何是false
除了零空間以外還有什麼vector space包含有限個vector
書中舉的例子不符合vector space的定義

請問一下行空間跟列空間的基底

以這題來說 他的行空間的基底是 用 列運算完後 找 pivot 然後回去看 原本的矩陣 然候用原本的矩陣的數字來當基底 。 可是列空間的基底，他卻是用列運算完後的矩陣， 的數字來當基底 。我記得老 師上課說過， 列運算前後的矩陣都可以 找出來當基底 ， 不知道我這樣的觀念是對還是錯。 因為我看書本好像解答都固定，行向量的基底就是用原本的矩陣去找 ， 列向量的基底就是用 列運算後的矩陣去找。 想問一下那行向量的基底 ，可以用列運算完後的矩陣裡面的數字去表示嗎 ？希望有好心人可以解答一下 謝謝

這樣證可否？解答寫是指一般歸納，還是強數？

怪怪的，每次有時打完字，但發文出去某些字都會被吃掉。
.......><......我重新發文好幾次了，改了又改，還是被吃掉。快瘋了@@
只好弄圖片了

ODE

線代第五章對角化應用的ODE"如何驗算"
例如
筆記上面這題
y1'=4y1+y3
y2'=-2y1+y2
y3'=-2y1+y3
y1(0)=-1,y2(0)=1,y3(0)=0

經過一番計算x=[e^2t -2e^3t ]
[e^t -2e^2t + 2e^3t ]
[-2e^2t + 2e^3t ]

是把t代0看是否與初始條件(0)代出來的值比對嗎還是?

利用對角化矩陣解遞迴

不好意思請教大家一下
在5-7對角化應用裡面有提到利用對角化矩陣解遞迴
形式是Xn = A*Xn-1
想請問一下要如何建構A矩陣？
矩陣的第一列是從遞迴定義得知，那第二列呢？
又如果是三階的遞迴要如何建構那3X3矩陣？

謝謝。

[線代]如何証 rank(AB) =/= rank(BA)

有次老師上課有提到
大部分的情況
AB =/= BA
tr(AB) = tr(BA)
det(AB) = det(BA)
rank(AB) =/= rank(BA)

前面三個我會証
但是 第四個 老師 好像上課沒特別証
我只知道 rank(AB) <= rank(A) AND rank(B)
大概是要這個方向去証 這樣對嗎?

[線代]有關於課後小考試題的答案

由於自己的複習進度比較慢，
所以沒有跟上考小考的時間，
線在自己拿題目來算之後，
卻無法知道是否正確，
請問有公佈試題小考的答案嗎？
要在哪裡獲得此資訊呢？

[離散]想問這樣證可以嗎？錯在哪？

A∩B=Φ if and only if B⊆complement of A

【法一】
(=>)：
這部份我會

(<=)：
若A∩B≠Φ
⇒∀x∈A∩B
⇒x∈B
∵B⊆complement of A
⇒x∈complement of A
⇒x∈A∩(complement of A)=Φ →←
∴A∩B=Φ

在【法一】當中，不寫∃，而是寫∀，可以嗎？

【法二】
(=>)：
這部份我會

(<=)：
若A∩B≠Φ
⇒∀x∈A∩B
⇒x∈A and x∈B
∵B⊆complement of A
⇒x∈complement of A →←
∴A∩B=Φ

【法二】若是這樣寫，可以嗎？

[離散]請問第二步驟是怎麼來的呢？

Q：If A⊕B=A⊕C , then B=C?

sol：
A⊕B=A⊕C

⇒A⊕(A⊕B)=A⊕(A⊕C)

⇒(A⊕A)⊕B=(A⊕A)⊕C
⇒Φ⊕B=Φ⊕C
⇒B=C

請問紅色那step是怎麼來的呢？A⊕(A⊕B)不是等於B嗎

[離散]請問這題我是錯在哪裡？

習題 1-8：
Let Ai={i, i+1, i+2,...}. Find (a)(i=1~n)∪Ai (b)(i=1~n)∩Ai

我的想法：
A1={1}
A2={1,1+1}={1,2}
A3={1,2,1+2}={1,2,3}
A1⊆A2⊆...⊆An
(a)(i=1~n)∪Ai=A1∪A2∪.....∪An=An
(b)(i=1~n)∩Ai=A1∩A2∩.....∩An=A1

但解答是：
(a )∵A1⊇A2⊇...⊇An, ∴(i=1~n)∪Ai =A1
(b)(i=1~n)∩Ai=An

[離散]請問這是什麼意思??

習題1-9：
Let U=R and let I=Z+. For each n∈Z+ let An=[-2n,3n]. Determine each of the following:

請問為什麼是用[ ]，而不是用{ }，[ ] 這是什麼意思呢???

[線代] 證明是要證唯一性還是存在性??

我發現我讀到一半很會鑽牛角尖，
甚至可以說是走火入魔。

像是

det[ (ABC)^T ] = det(A^T)det(B^T)det(C^T)

或者

det(ABC) = det(BAC)

像是這些題目，題目沒註明 A.B.C: n x n
所以我把他們認定是錯的= =+
可是解答又說是true，所以我把他想成存在性。

所以我該怎麼分辨要去証唯一性還是存在性呢，
我知道我問的問題很鳥，但是可以指點迷津一下嗎？= =+

[離散] 害羞的觀念問題 Hanoi

T(n)=2T(n-1)+1
T(1)=1
向下帶
2[2T(n-2)+1]+1
=> 4T(n-2)+2
=> 4[2T(n-3)+1]+2
=> 8T(n-3)+3
找到相關性 XT(n-y)+Z 發覺 Z=3 Y=3 X=2^Z
2^(n-1)T(n-(n-1))+n-1
因為n-(n-1)=1

我的答案會是2^(n-1)+n-1
而不是解答中的2^n-1

請問我是哪裡觀念出了問題 有些題目我嘟用這個觀念下去找解
突然錯了 整個悶起來...未來的路怎走下去阿~