[離散]ch3,4小考試題

請問一下離散第三四章小考第5題的正解為何
即數列1^2,2^2,3^2,...之生成函數
今天發了考卷, 我怎麼算都是我考卷上錯的答案
請大家幫忙, 謝謝

[線代]一個地方可能打錯 page 4-85 (三版)

第1題
解答是否 應為 upper

[線代]核空間與像集 P4-93

P4-93範例11 這頁最面那一句話 因為T為one to one 且onto =>dim(V)=dim(W) 因此只要證明T(beta)為linear independent即可

我的問題是為什麼不用證明T(beta)生成的原因看 不太懂麻煩高手解答了。 證生成:因為T為onto，所以對於W中的所有元素 ，都可以找到V中的元素且使其對映；而V中的 每一個元素都可以用V的基底beta={v1,v2,v3,. ..vn}表示成線性組合。得證

[離散]P1-21 範例11

-----------------------------------
解答寫：
因為34=14+13+21-(x+y+z)-2*3
=>x+y+z=8
因此39-2*8=23為所求
-----------------------------------


我想問的是，為什麼是淢去2*3，而不是加3
跟據P1-10的Note6第二項：
∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-(∣A∩B∣+∣A∩C∣+∣B∩C∣)+∣A∩B∩C∣
所以我的寫法是↓
34=14+13+21-(x+y+z)+3
=>x+y+z=48-34+3=14+3=17
更正我的作法：
34=14+13+21-[(x+3)+(y+3)+(z+3)]+3
=>x+y+z=48-34-3-3-3+3=14-2*3=8

PS：我的書是95年三月四版

4.5矩陣的rank

A~B:A經過列運算得到B
老師說:因為列運算保ker(A)=ker(B)
所以列運算保行的相依獨立情形

是要使齊次解集不變
所以行和行之間的關係不變
才會使齊次解集一樣
是這樣的關係
才使列運算保行的相依獨立情形???

[離散]P1-36．是打錯字，還是？

解答寫：
假設n < = k時命題成立
考慮n=k：

我要問的是，前面已寫假設n<=k成立了，後面怎麼又n=k，怎麼假設與考慮同時出現兩個等號，考慮不是我們要證的嗎？都被假設成立了，那還證的話不矛盾嗎？

是不是該改成：
假設n < k時命題成立
考慮n=k：

謝謝!!

Ax=b 至多一解 for all b <=> rank(A) = n

A: m * n

Ax=b 至多一解 for all b <==> rank(A) = n


(右到左)
　rank(A) = n
=> A 行獨立
=> for all b, Ax = b, x 要不無解, 要不具唯一解



想起來大概可以理解為什麼是 "至多一解"
但是想請問一下, 如果用另外一種看法

(一樣右到左)
　rank(A) = n
=> A 具左反
=> (左反A) (Ax) = (左反A) (b) for all b
=> x = (左反A) (b) for all b


這樣的話, for all b, x 不就必存在一唯一解嗎?
會有無解的情況嗎?

謝謝~

4.4~~~~kernel與Image

若T:V->V'
Im(T)的基底一定不會是V中ker(T)對過去的基底
這個句話是肯定的嗎?
我是這樣思考
因為for all v屬於ker(T)中對過去的點一定是0
所以ker(T)的基底對過去也一定是0
又因為0不能當基底
所以V中ker(T)對過去的基底一定不會是Im(T)的基底

經過老師上到kernel和image
突發其想的想確認一下

[離散]P1-33 induction

consider n=k+1

請問為什麼這個式子可以拆這兩項？怎麼拆的？謝謝!!!
請點我放大此圖

筆記-圖論的問題

老師在6.4的筆記中有給一題95彰師的題目
G=(V,E),V=n=>3
若E=e=>C(n-1,2)+2，證G具HC

老師給的證法是任取2個不相鄰的點x,y來證
不過當n=3的時候，好像會有問題
因為e也會等於3，那好像找不到不相鄰的兩點
我稍微檢查了一下好像要4之後才找的到不相鄰的兩點
請問是不是證明的時候要考慮到三呢
比如，改成這樣:
n=3時，顯然成立
考慮n=>4時，再套老師的證法

離散問題 關於CATALAH NUMBER

(表達不好請見諒)

老師課本上例36 (STACK 問題)

遞迴式是 an = a0*an-1 + ... + an-1*a0

範例2 (圓盤 不相交的對角線)

遞迴式是 an = a0*an-1 + ... + an-1*a0

兩者都一樣是從a0 (a0*an-1)

而在例37中 (括號法)

遞迴式是 an = a1*an-1 + ... + an-1*a1

我想問的是

1.要怎麼樣從題目中得知是要令成a0*an-1 還是 a1*an-1
2.第二題為什麼是令成a0 不是a1

P.S. ：第一題我認為大概是因為1的右邊沒有元素所以是a0
第三題我也了解
第二題(不相交的對角線)......請大家幫幫忙了^^

5-2遞迴相關問題

課本"定義2"中推倒特徵方程式過程中
令 an = A‧α^n
其中A是常數還是矩陣呢？
看完"定理1"推倒 an 後的結果
還是弄不懂為何定義2中式子的由來

還請老師能幫忙證明式子的由來...bow.....

『 T:1-1 <==> 保獨立』 我這樣証可行嗎

我想問的是 保獨立==>T:1-1
這裡老師是用反証來証的，我想用直接証。
大家幫我看看，這樣的論述有沒有問題。
(下標字用成斜體字)
T: V->V' linear Suppose dim(V)=n Let {v1 v2 ... vn} is basis for V
For every x 屬於 ker(T) 屬於 V . 存在 a1 ... an 屬於 F s.t x =a1v1+ ... +anvn
==>T(x)=T(a1v1+ ... +anvn)=a1T(v1)+...+anT(vn)=0
因為 {v1 v2 ... vn} is LI => {T(v1) T(v2) ... T(vn)} is LI
所以 a1=a2=...=an=0 Then x=0v1+0v2+...+0vn=0
==> ker(T)={0} ==> T is 1-1

線性代數 列運算的疑問

想請問一下列運算不保行空間, 為什麼 ? 我不知道為什麼列運算不會保行生成 ... 觀念太弱,又想不出來 = = ! 麻煩各位解答一下,謝謝.

數論中定理15的證明p1-52

k為I的最小正整數,欲證I={kxx屬於Z},我想問為什麼(1)kx可以代表整個I(2)因為k為I中的最小正整數且r小於k所以r=0???為什麼r=0??這兩個問題麻煩解惑了

線代問題 93中央資工T&F

他的問題是這樣的 whether these statement 等價 "Ax = b has solution"

我想問的是

b) 增廣 Matrix [Ab] has a pivot position in every row

這題如果把position改成ELEMENT就對了嗎?

e)Ax = 0 has only trivial solution

老師解答上面是給F

我的問題是 Ax = 0 has only trivial solution指的不是只有0解嗎?

所以表示A可逆 => Ax = b有解

so the answer is True?

[線代問題]

突然想到一些問題，

1．"A先取inverse再取倍數" 和 "A先取倍數再取inverse" 他們兩者有關係嗎？

2．若A的inverse=B，C的inverse=D，A≠C，則B和D "有沒有可能" 相等？

P.S.因為我的觀念真的不是太好....雖然看起來很簡單的問題...
但我好像沒辦法找個真正的理由來理解和說服自己耶...可能是我想的太複雜了....

[離散][習題本] ch3 排列組合與排容原理之習題7

P 3-78 第七題
How many permutations of the numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, and 7 are there if
(b)there must not be two or three numbers between 1 and 2?

解答如下
７！－Ｃ（５,２）＊　２！＊４！　＋　Ｃ（５,３）＊３！＊３！

我的問題是..
取兩個放在１和２之間的數要2!的排列
那在外面的1,2不用2!排列嗎?
同樣的
取三個放在１和２之間的數要3!的排列
那在外面的1,2不用2!的排列嗎?
麻煩解惑囉~

[線代] 3-4範例9 page3-89

w1 的２,3個基底　　與　w２ 的２,3個基底

相依　　所以　　和空間　基底

取這四個　目測　　（１,0,0,0,-1,0,0,0,1)與

（-1,0,0,0,1,0,0,0,1) 互相獨立　所以這樣取

法２：把上列　６　基底排成　　６＊９　matrix 則產生　２零列

怎麼看　dim(W1+W2) =4 都合理　　　請問我觀念錯在哪? 謝謝

[離散數學習題]第二章 關係與函數

p83 2-6
If A = {1,2,3,4}, give an example of a relation R on A that
(a) reflexive and symmetric, but not transitive

答案如下
(a) R = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)}

因為 (1,2) ,(2,1) 的 transitive 會變成 (1,1)
所以我想答案可能給的有問題

麻煩助教查看一下~
還是說我的想法有問題的話麻煩指正一下囉~

數學歸納法的問題1-27頁

例題17考慮n=K+1時 3^k+3^(k-1)+3^(k-2) <=3^k+3^k+3^k~~~我要問的是為什麼是小於或等於而不是只有小於 我認為他不可能有等於的時候阿!!不管代多少我還是想不到哪時候會等於

線代問題討論

[離散][精選範例]3.3組合問題..

P 3-27 範例2
一公司有董事9人,現有保險櫃上有一鎖須用N個KEYS才能打開,公司規定至少4個董事同時出面方可開櫃,
(1)請問N最小值是多少?
(2)又每個董事可擁有多少KEYS?

解答給的是
(1) C(9,3)=84
(2)C(8,3)=56

我比較不清楚的是為什麼可以用這個觀點來看
不知道KEYS是怎樣的KEY?數字組成還是英文字母組成等等..這讓我不知道該如何下手看待此題..
麻煩了解此題的朋友
不知可不可以用和課本不同的方式解答給我聽嗎?

現代第二次小考

請問 : det((AB)^T)=det(A)det(B)為啥是對的??
同一個觀念，det(ABC)=det(BAC)，為啥也是對的??
不是要保證是"方正"才可以拆開???應該不會對吧，是答案給錯嗎??

保生成的証法

T:linear
T:onto <=> T:保生成

關於這題
我想請教的是從右邊證到左邊，用矛盾証法可以嗎?

假設Im(T) != V' 取S:生成V
=> span(T(S))=Im(T) != V' 與T:保生成矛盾 故Im(T) = V' 得証

[離散][精選範例]2.7 計數問題..

範例3
Let K={x|x is a real number and 0<= x <= 1}. Show that
(b) K~K^2 where K^2 ={ (x,y) | x, y 屬於 K}

解答為











我不了解的是框起來最後等於那部分==>0.X1Y1X2Y2....
我知道這是技巧之一
但是為什麼可以令K^2 = 0.X1Y1X2Y2....這個敘述呢???
這是我的疑點???
麻煩替我解惑囉~~
謝謝~

[離散][5.4生成函數法]關於導出Dn亂序遞迴

我想問的是
我的思考過程有沒有錯誤

首先假設N個物品要亂序好了

物品：1...i...n
位置：1...i...n

(1)
1放在i，i恰好放在1
的狀況下，只需要考慮剩下的n-2樣物品 --> Dn-2

(2)
1放在i，i沒放在1
的狀況下
相當於扣除物品1的 "n-1" 樣物品，以亂序方式擺在 "n-1" 個位置
如同 "n-1" 樣物品做亂序 --> Dn-1

到這邊為止不知道有沒有問題＠＠"？

[離散][習題本] ch3 排列組合與排容原理之問題

３－２　Aclub with 20 women and 17 men needs to choose thre*s to be president, vice president, and treasurer.
(b) In how many ways is this possible if women will be chosen as president and vice president and a man as treasurer
答案給的是: 37*36*17
但是我的應該是 20*19* 17才對吧 應該是從女生堆中挑兩個出來再從17個男生挑一個出來
不知道答案有沒有錯
還是說我的想法有錯呢?
麻煩解惑囉~

[離散][排列組合與排容原理]問題...

3-28精選範例 3
(g) Three of a kind : Three cards of one value, a fourth card of a second value and a fifth card of a third value
解答如圖..









對於最後還要除上2!我有點疑惑
是因為第四張牌和第五張牌視為相同嗎?
可是他們數字不一樣可以視為相同嗎?
麻煩解答囉~

[離散][關係與函數]問題..

2-102頁 精選範例 2
Please show that the set of real numbersbetween 0 and 1 (excluding 0 and 1) is an infinite.
他的解答如圖..












我的問題是我框起來和畫底線的那部分
為什麼要設b=(a+1)/2
還有為什麼 b>a 呢??
麻煩解答囉~

0812線代(相似)

上課筆記如下

不懂 "ㄍㄚ馬" 的第2個 basis 怎麼來的

圖論證明中的敘述

小弟資質淺薄有些問題:就是證明中常常說:[g為連通圖否則對g的每個分量圖作以下的證明]是說g是連通圖就得證嗎???又好像不是= =我不太懂...ex:6-38頁的定理五~~還有一個問題就是說:6-80頁的r=1+ ∑ri 這個ri有 ' 吧...

函數問題

設f：R→R 為一函數，滿足對任意一個x,y屬於R 有f (f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy。証明
(a)for any z in f(Z)=>f(z)=z
(b)for any x,y in R=>f(x)f(y)-xy=0
(c)for any x in R=>f(x)=x ( ps R為實數集 Z為整數集)

集合論問題

設A,B為兩集合，R,S分別為A,B上之等價關係。若f：A →B與R和S配合，及對所有A的元素a，a* ，有f(a)Sf(a*)當aRa*，證明：存在為一一個映射h：A/R→B/S 使得v。f=h。u，其中u：A→A/R 以及v：B→B/S為自然的滿射(即u(a)=[a]與v(b)=[b])
ps A/R={[a]a屬於A}就是將A上的等價關係所組成的集合

[線代二版]線性映射

烏~我竟然還沒把線代上課草稿的筆記給抄到新notebook上就把他給丟到垃圾桶><::
而且還是前幾天前就丟的
含淚po此文~~為我那本髒髒的草稿筆記哀悼吧~0~::


問題是這樣的:

老師第四章在之前的筆記
有講過兩句話

一個A:m x n
(1) 若rank(A)=m,則必有解，但不一定唯一
(2)若rank(A)=n,則未必有解，但一定唯一

好
講白話一點
(1)就是說至少有一解
(2)就是說至多有一解

老師在筆記中還有寫到
(1)Ax=b有解，對所有b: m x 1 (a)
<==>CS(A)=F:m x 1 (b)
<==>rank(A)=m

(2)Ax=b至多一解，對所有b (c)
<==>rank(A)=n (d)


(a)跳(b)和
(c)跳(d)
不懂為什麼