A: m * n
Ax=b 至多一解 for all b <==> rank(A) = n
(右到左)
rank(A) = n
=> A 行獨立
=> for all b, Ax = b, x 要不無解, 要不具唯一解
想起來大概可以理解為什麼是 "至多一解"
但是想請問一下, 如果用另外一種看法
(一樣右到左)
rank(A) = n
=> A 具左反
=> (左反A) (Ax) = (左反A) (b) for all b
=> x = (左反A) (b) for all b
這樣的話, for all b, x 不就必存在一唯一解嗎?
會有無解的情況嗎?
謝謝~
13 則留言:
左反矩陣不唯一. 書本ch1-2一開始有說明.
^^
解左反的矩陣也可以發現,未知變數會比方程
式還多
可是老師上課有講到(筆記中也有)！
1.2的反矩陣的第二個theorem講到！
A:n*n可逆=>A之inverse存在唯一。
而前面的theorem也證明了下面的定理，
若A具反矩陣左反B和右反C，則B=C。
所以若存在反矩陣的話，必定唯一。
第一次回答，不知道對不對。
呼, 我只能試著用一個例子來說明.
黃小米的觀念沒有錯, 不過這題給的A不一定是方陣, 當 m=n 的時候, 就是唯一解; 因為rank =n 所以 m 至少 n, 而當 m>n 的時候就不一定唯一解了, 可是無解是發生在哪裡呢? 現在我令 A in M_{3x2} by
1 0
0 1
1 1
=> 其左反, 稱 B, 為
1-c -c c
-d 1-d d
註: 就像colkyo 說的不唯一.
A 是一個從R^2到R^3的 map, rank 為 2, 所以其 image 是一個在R^3裡面的二維空間, 也就是一個平面, 稱做 P, 而 B 是從R^3到二維空間的 map; 注意我沒R^2來指定 P 是因為避免讓你們認為這個 P 與原來提到的R^2會是同一個空間; 令x=(x,y)^T, b=(b1,b2,b3)^T.
顯然; 當 b3=b1+b2 的時候, 也就是b落在平面P也就是f(x)=x+y, 我們有唯一解, (x,y)=(b1,b2). 而且你會發現 Bb=
b1 - c(b1+b2-b3)
b2 - d(b1+b2-b3)
會是 independent of c and d, 所以運算讓我們得到了這個唯一解. 但是如果當我們指定 b 使得 b3≠b1+b2的時候, 這個 b 就不落在 P, 所以不存在向量x in R^2使得Ax=b, 此時就是無解的情況.
我試著還原你的想法
因為rank(A) = n
=> A具左反
即存在B使得BA = I
假設Ax = b
=> BAx = Bb
=> x = Bb
因此你導出Ax = b具唯一解,
並不是至多一解
這裡你犯了一邏輯上的錯誤
讓同學們發揮好了, 錯在那?
我大概想了一下，
若b=0,則x=Bb=0所以具唯一解。
若b≠0,則x=Bb不一定有解？
是這樣嗎?= =+
> 黃子嘉 提到...
> 我試著還原你的想法
> 因為rank(A) = n
> => A具左反
> 即存在B使得BA = I
> 假設Ax = b
> => BAx = Bb
> => x = Bb
這裡如果 x = Bb 的話,
代回原式變成:
ABb = b
但 AB 並不等於 I 呀
所以矛盾...
但是到底是那裡錯呀??
我一直覺得這三行的推理很完美呀...
等等!
還是說導出 x = Bb 就是一個矛盾的地方
所以假設不成立, x 應是無解
天呀.. 我在講什麼...
> 因此你導出Ax = b具唯一解,
> 並不是至多一解
>
> 這裡你犯了一邏輯上的錯誤
> 讓同學們發揮好了, 錯在那?
我來講解一下, 這個證明似乎很完美,
也是一般人很常犯的錯誤,
我上課常常提醒大家,
證明存在性不要變成證唯一性了,
整個證明是假設Ax = b有解下,
證明它的解為x = Bb,
所以它是證明唯一性, 既然證明唯一性,
那就是表示如果有解的前提下,
這個解是唯一的, 也就是至多一解的意思, 至以rank(A) = n有沒有保證Ax = b必有解, 當然沒有, 反例阿凱講得很好
喔, 阿凱和黃老師這樣講我大概就瞭解了
但還是有個地方不太懂
老師的意思是說,
若 Ax = b 有解
令 B 為 A 之左反
則 x = Bb
但是
1. 前面所說, B 應該不是唯一呀
那 x 怎麼會是唯一呢??
2. x = Bb 代入 Ax = b
得到 ABb = b 應該是不成立的呀
因為 B 是 A 的左反,
不可能乘在右邊會等於 I 呀
況且 A 不是應該不具右反??
我的想法是：
rank(A)(<=)for all b的情況下有兩種解
1.唯一解
2.無解
1.當Ax=b具有唯一解的時候for all b
rank(A)=rank([A|b])=n
rank(A)≦min{m,n}
所以m=n 若m>n for all b就會有可能無解。
且 rank(A)=rank([A|b])不一定等於 n
所以...
Ax=b 具唯一解的話，
Ax=0 只有0解等價於A可逆。
Ax=0
=>BAx=B0
=>x=0
所以B是A的反矩陣，
則 ABb = b 就成立了。
當然rank(A)=rank([A|b])若不等於n，
就會造成無解，則 ABb = b 也就不成立了。
我不知道我的想法是否正確，不過我試著回答了。
假設B是A的左反, 雖然這個B不見得唯一
但Ax = b的解Bb還是唯一
不同的B去乘b結果都會一樣
再來ABb = b時沒有保證AB = I
因為這裡的b不是for all b
這裡的b的前提是Ax = b有解的b
不過話說回來, 那樣證唯一性也不太好
我之前重點在談, 證存在性不能如此證
證唯一最基本的方法就是我上課提的
還有也可以利用ker(A) = {0}去證
嗯嗯, 這樣我就完全瞭解了.
謝謝老師和同學們的解說~ :)
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