證明 K(λ) 為 T 的不變子空間。
也就是證明 " T(K(λ)) 包含於 K(λ) "
在 6-35 第(2)部份的倒數第二行：
=> (T-λI)^p (T(v)) = T(T-λI)^p (v) = T(0)=0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
請問這問是如何寫出來的呢？ 如何把 T 拉到外面去？
也就是 A * T(B) 的結構變成 T(A*B) 。
如果把T當成矩陣，這就是交換相乘的順序了。這是依什麼理由呢？
Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
6 則留言:
good question.
先想想如果 p=1 的話, 為什麼可以交換. 再想想 p=2, 這樣應該就知道了. 如果還有疑問再告訴我..
To wynne
“因為T-λI是把T做平移“
請問這是為什麼呢？@@不太懂。
T(V)=λV => (T-λI)V=0
那(T-λI)不就是讓 V 對應到 0 的線性算子。
要怎麼解釋(T-λI)跟 T 有平移關係呢？
To 凱：
p=1
(T-λI)(T(v))=T(T(v))-λT(v)
T(T(v)-λv)=T(T-λI)v
p=2
(T-λI)T(T-λI)v=T^2-λT)(T-I)V
=T(T-λI)^2*V
所以是用矩陣的分配律來導出此結果嗎？還是背後有什麼含意？
期待各位繼續回答小弟問題。 謝謝 ^^
hey, 你已經證出來了~~不過不是分配律, 應該說什麼時候可交換.
要看成矩陣也行, (A-B)A 一般來說不會等於 A(A-B), 可是 (A-I)A 卻會等於 A(A-I), 原因當然是因為 A^iA^j=A^jA^i 和AI=IA.
你得到 p=1 的時候可交換, 因為 (A-λI)^p 彼此可交換, 那就拆成 p 個然後跟 A 一個一個換就行了; 另一個說法可以是 將 (A-λI)^p 用二項式展開, 然後我們知道 A^iA^j 可交換, 所以可以將乘在後面的 A 提到最前面, 可以試試 p=2,(let λ=1)
(A-I)^2 A
= (A^2-2A+I)A
= A^3-2A^2+A
= A(A^2-2A+I)
= A(A-I)^2
To 凱：
喔！原來如此。 謝謝解答囉！ ^^
這種問題我在第一章都有特別提醒同學, 大家還是會忘記, 我再講一次
就矩陣來說, f(A)g(A) = g(A)f(A)
就函數來說, f(T)g(T) = g(T)f(T)
就矩陣來說, f(A)g(A) = g(A)f(A)
就函數來說, f(T)g(T) = g(T)f(T)
看不太懂，誰可以幫我解釋一下這代表什麼意思呢？
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