台大97年考題

題目是
the set {rank(the adjoint of A) A 屬於 R(7*7)} contains ? 個 integers


這題是這樣嗎?
7*7矩陣 rank可能從1到7 .....所以有7個 = =?

另外也問9跟10題...

麻煩解答了 謝謝

關於det

true or false:
det(ABC)=det(BAC)

答案是true

我的問題是
這題 題目沒給矩陣大小
若是
A:m by n
B:n by p
C:p by m
這樣的話不就不能拆開了嗎＝ ＝？

[線性代數]

課本：
1.4-61-範例九：
      請問(a)小題的1=~~~~, sinhx=~~~~, coshx=~~~~是怎麼表示成e的..？

2.4-136-範例二：
      請問(d)小題最後的答案是否有錯？是a1x+2^na2(1+x^2)嗎？

習題：
1.4-30：
      可以大致解釋一下這題嗎？不太懂..。另外想請問dual basis是指ker和im的basis嗎？以及本題、4-32都使用到的*是有特殊含意嗎，還是只是符號而已？

2.4-90：
      對A依序做列運算那邊不太了解為何是(2n+1)~(n+2)。


以上，請指教；感謝。

[線性代數] 99政大應數推甄

證明旋轉矩陣的eigenvector 都是複數 我寫阿寫..... 寫到eigenvalue為 cosθ±i sinθ 所以當θ＝kπ k為整數 則eigenvalue為 1 或 -1 k非整數 則eigenvalue為複數 但是題目所求eigenvector 都是複數該怎證下去呢？？

一些利用屬於的證明

ch7-3

老師在証明ker(A)=ker(A^H A)時

一開始的ker(A) ⊆ker (A^H A)
Ax=0 => A^H * AX=A^H * 0 = 0


我的想法是說
是因為A^H 可隨意更動(ie 若為 I就和原來一樣)
所以範圍比 A還大

可是反過去那個使用X^H 我就看不懂為何是ker(A)⊇ker(A^H A)
老師正法是乘了X^H 就變成了AX=0
但是X^H 感覺似乎會因為隨X改變 好像不能隨意變動的感覺
不知道為什麼會變成ker(A)⊇ker(A^H A)?


而另外一題感覺也是類似東西

ch5-5

Thm T^2=T 證明V(0)=ker(T) V(1)=IM(T)

V(1)={VT(V)=1*V}
V(1)={VT(u)=V}

由於u的範圍比V大(V必須符合V送到V才行)
所以V(1)⊆IM(T)

不過反過來證
T^2=T => T(T(V))=T(V) =V
所以 V(1)⊇IM(T) 這邊我就看不懂了

是看得出有T(V) =1*V 所以V(1) 應該是從這邊跑出來的
可是搞不懂為何 V(1)⊇IM(T) ??

以上兩題都是卡在第二步 懇請指教了

[離散]遞迴-非齊次

minimal polynomil的問題

老師上課有談到一題
EX A^2 = A 證明A 可對角化
有兩小題
(a)題是用minimal polynomial 證所有組合皆不超過1次方 所以T可對角化

(b)小題是利用minimal polynomial 續算出所有的A
ma(x)=x => 0=ma(A)=A
本來覺得OK 但事後來又想到
ma 其實只是Pa(特徵多項式)的一小部分 萬一Pa=x(x-λ1)(x-λ2) 才是他原本的特徵根
根據Caley Hamilton定理
那不就變成了 特徵多項式 A(A-λ1)(A-λ2)=0
這樣求得的A 不就有一大堆可能嗎?

還是說根據minimal polynomial的話 (x-λ1)(x-λ2)這兩項式不會出現的(因為最少會出現一次)
可是如果是這樣
我又會想到
他另外一個解
ma(x)=x(x-1)

特徵根可能為 pa(x)=x^s * (x-1)^t s,t為任一數
這樣似乎A的解又會變一大堆可能了

這邊搞不太清楚 麻煩指點迷津

關於老師上課的例題

97年逢甲

R (->) , U( 向上的箭頭 ) ,從(0,0) -> (7,3)
在任一時間內 U的個數不能超過R的個數
也就是 任何時間 向上的步數不能超過向右的步數


老師解法是 全部方法 - 不合法的

而不合法的算法是 隨便取一種不合法的方式如
RUU RRURRRR
在" "發現不合法將上式改成

RUU UURUUUU --> 求這串的排列方法 就是不合法的走法
請問這觀念是什麼?
或是有其他方法解這題?


麻煩解答了 謝謝

想再問一下 觀念不太懂

問題二:

同一個eigenvalue 所對應的eigenspace 裡面的 eigenvector 彼此都是獨立的嗎??

甚至我想知道說 一般我們將同一個eigenvalue找的 eigenspace 寫成 span{ [v1] [v2] } 裡面的 v1 ,v2 向量都是eigenvector

他們都是獨立的嗎??

我想問一下觀念題 拜託解答了 感謝

老師上課有說 對於n*n的矩陣 A而言 如果有n個相異的eigenvalue =====> 表示A可對角化 反之不成
立

我想問說 這件事對於函數T(T就是指我們一般算的linear operator)而言 成立嗎?? 也就是我想知道 T

如果有n個相異的eigenvalue T可對角化嗎??

因為定理是說 如果具有n個獨立的eigenvector <==> 則對於A或T都可對角化

只是對於T 有時候我搞不清楚 麻煩老師解答了

Algebra system

(A, *):Algebra system .for all a b in A

(1) (a*b) *a=a

(2) (a*b)*b = (b*a)*a

show that a*a=b*b for all a and b.

我最後化簡到

a*a=....=[(b*a)*a]*[(b*a)*a] 之後就卡住了

離散module 之應用

上課時提到的問題 可是不知道原理想來詢問一 下

(10m+n)+(m-n)=11m
式子寫成這樣
接下來可利用此式來判斷11是不是他的因數

ie 1331
133 - 1 = 132 //拆成10位數來看 然後減個位數
13 - 2 = 11

因此1331為11的因數

同理也可用在

2(10m+n)+(m-2n)=21m 用來判斷是不是21的因數

ie 2331
233 - 2*1=231
23 - 2*1=21

所以2331為21的因數
雖然看懂規則了 但是搞不懂為何可以一直遞回下去弄出答案
只覺得很神奇
不知道是要從哪個觀點來看? 不懂遞回跟modlue的關係 orz
懇請賜教

97台大電機

38題 (b) transitive 是怎樣得來的?


麻煩解答了 謝謝

關於生成函數在遞回

一開始要設定 ∑ 的起始值
ie: An=5An-1 - 6An-2
A0=5 A1=13

一開設n >= 2 是因為考慮到最少要兩項(A0 A1)才能湊出最基本的A2嗎?
不然有可能出現A-1 到時候就沒有對應值了

然後最後畫成生成函數時 因為從A0開始 所以
生成函數改成n>=0 開始

原本我都是這樣想的

可是5-67海大那題

一開始我以為是從n>=2開始 沒想到題目卻是n>=1開始
而最後求生成函數時起始值明明是a1 卻變成從n>=0開始了
不知道是我想法錯誤還是怎樣 驗算後結果也是對的
但是還是覺得怪怪的
想問一下我設n範圍的想法是否正確?

[線性代數] 極小多項式與Cayley-Hamilton定理

極小多項式與Cayley-Hamilton定理
這兩個有關係嗎?
我知道特徵多項式f(x)
根據Cayley-Hamilton定理
f(A)=O

極小多項式m(x)
根據[什麼](定義嗎)
m(A)=O,too
所以...極小多項式與Cayley-Hamilton定理
這兩個還有關係嗎?

台大97電機 24題

題目是這樣

s=0;
for (i=1;i<=n;i++) { --> n+1
s=s+i; --> n
for(j=1;j<=i;j++){ --> 1+2+.....+n
s=s+j*i; } ---> 2*(1+2+....+n-1)
}
s=s+10; ---> 1

求所有加法和乘法數


看老師解答 似乎只有算 s=s+i 和 s=s+j*i 的部份
不用考慮 for 裡面變數加法嗎?
另外 橘色部份是我自己算的
若沒考慮for 答案還是不一樣
請問錯在哪呢?

麻煩解答 謝謝

關於上課的一些題目

EX1: A n*n 矩陣內元素全部是1 求rank(A-XI)的可能

分成2case

if x 是eigenvalue

x=0 rank(A-XI)=1
x=n rank(A-XI)=n-1

x不是eigenvlaue x不等於{0,n}
因為det(A)=Pax(0)=(0-λ1) (0-λ2) (0-λ3)..................
而x不是裡面的根 所以det不是0 代表可逆 rank為n
但是似乎原本老師還有提到另一種看法 能詳細嗎?

EX 2 A^2-3A+I =
[ -7 6 ]
[ -12 11 ] //這是矩陣 因為不知道符號怎麼orz

老師算法是將A看做對角矩陣 A=PDP^-1
這樣只要個算兩邊的D就可以知道矩陣的原貌了
不用解4次方程式
可是是怎麼知道右邊矩陣對角化後的igencector 會是和左邊一樣的呢?
萬一不一樣不就不能用了


這兩部分還是有點搞不懂 懇請賜教

95成大 特徵根與直和

請問第3題 題目說 算子α^3 = α欲證 V = W0 直和 W1 直和 W2 我的寫法：f(x) = x^3-x f(A) = A^-A = 0 所以A的極小多項式m(x) divides f(x) = x (x-1) (x+1) 所以特徵根屬於{0,1,-1} 可能的特徵根有3個 且A可對角化 問題來了..><..為了導出直和 我要怎麼證明A的特徵根就是只有這3個呢？ 謝謝賜教..

離散~96嘉大資工

大樂透的題目:
How many tickets does one have to buy that will guarantee to win prize?
sol:
有以下三種狀況
1)6個不中，中特別號
2)6中1
3)6中2

疑問:怎麼沒有6個不中，連特別號也沒中的情況?

[離散] 課本2-97 計數問題

[推廣 2]

假設A為無限集，若存在 f : A -> N 為 1-1 ，則A為可數集

請問這邊為什麼不用證明為onto ?



另外，2-98頁的證明 N x N ~N
可以用定義 f (x,y) = 2^a * 3^b，然後只證明 1-1
就可驗證 N x N 為可數集就是用上面的推廣吧~?


這樣我就不需要用 [定理 25] 的證法來證明這題了~?
因為下面 Note 的證法較易


謝謝幫忙回答