EX1: A n*n 矩陣內元素全部是1 求rank(A-XI)的可能
分成2case
if x 是eigenvalue
x=0 rank(A-XI)=1
x=n rank(A-XI)=n-1
x不是eigenvlaue x不等於{0,n}
因為det(A)=Pax(0)=(0-λ1) (0-λ2) (0-λ3)..................
而x不是裡面的根 所以det不是0 代表可逆 rank為n
但是似乎原本老師還有提到另一種看法 能詳細嗎?
EX 2 A^2-3A+I =
[ -7 6 ]
[ -12 11 ] //這是矩陣 因為不知道符號怎麼orz
老師算法是將A看做對角矩陣 A=PDP^-1
這樣只要個算兩邊的D就可以知道矩陣的原貌了
不用解4次方程式
可是是怎麼知道右邊矩陣對角化後的igencector 會是和左邊一樣的呢?
萬一不一樣不就不能用了
這兩部分還是有點搞不懂 懇請賜教
6 則留言:
1. 我不知道老師提的是哪一種, 不過我可以提供你另一個想法: 考慮 A-xI 這個矩陣的 eigenvalue, 因為它只有對角線不一樣, 所以利用上課教過的方法就可以算出它的 eigenvalue 會是 -x (重數為 n-1), 還有 n-x (重數為 1), 因為 rank(A-xI) = rank((A-xI)-0I), 所以我們可以針對 0 是否為 A-xI 的 eigenvalue 來討論:
(1) 0 是 eigenvalue -x, 則 x = 0
=> rank((A-xI)-0I) = n-(n-1) = 1
(2) 0 是 eigenvalue n-x, 則 x = n,
=> rank((A-xI)-0I) = n-1
(3) 0 不是 eigenvalue, 則 nullity((A-xI)-0I)=0
=> rank((A-xI)-0I) = n
2. 若 λ 為 A 相對於 x 的 eigenvalue, 則 f(λ) 為 f(A) 相對於 "x" 的 eigenvalue, 例如, 令此題中右邊那個矩陣為 B, 要寫證明的話就是 Bx = (A^2-3A+I)x = (A^2)x-3Ax+x = λ^2x-3λx+x = (λ^2-3λ+1)x
感謝助教:)
第二題這樣想就好多了
不過第一題這邊還是搞不懂耶
rank((A-xI)-0I) = n-(n-1) = 1
印象中是
rank(A+B)⊆rank(A)+rank(B)
不太了解為何變成
n-(n-1)=1
不知道為何可以拆開來看
而且單拆看來想x=0時
rank(A-XI) rank(OI)
我也想不出為何是個別是 n n-1
這邊又要麻煩一下助教了
n-(n-1) 和 n-(1) 括號裡面的東西分別是eigenvalue λ 為 -x 和 n-x 的重數, 也就是 nullity(A-λI), 所以 rank(A-λI) = n - nullity(A-λI)
原來是我搞錯意思了 謝謝
對了 想在補問一下 怕有想錯
第三種情況
當不是ignvlaue
原本是 Ax=λx
但因為非λ 所以(A-非λI)x 不會等於0
kernel(A-非λI) 無法把向量送到0去
不存在ignvector
所以igencevtor = {0}
這樣想是正確的嗎? 還是有更直覺的想法?
嗯, 大概是這個意思, 要注意的是因為0永遠不會是eigenvector, 所以你最後結論寫得有點怪怪的; 如果直接從定義去想就還滿直覺的, 因為 λ:eigenvalue iff 存在x!=0使得Ax=λx(i.e.存在 x!=0, x屬於ker(A-λI)) iff nullity(A-λI)>0, 所以 λ 不是 eigenvalue iff nullity(A-λI)=0
不過我想你應該越來越可以感覺得出來, 這個想法和老師的那個版本其實是差不多的, 只是換個角度切入而已
這次問題有點多 感謝助教 :)
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