Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
這個我覺得用指數生成函數可能不太適合, 因為它的一般式不好解, 譬如說在排列裡放 3 個 2 時要考慮的是 x^6, 可是此時只有 3 個東西在做排列, 所以若要扣掉重複的排列, 那麼式子得改成 x^6/3!, 要寫出完整的EGF雖然不難, 但要把它解開恐怕不太容易
呃...那如果只要寫出來呢？解不出來也沒關係..
現在再看一遍, 我覺得昨天的回答不好, 請你把它忘掉好了, 因為我發現這應該是無法用EGF來討論我們一般之所以會去算出指數生成函數 x^i/i! 的係數, 是因為當我們在考慮 x^i 時, 我們一定是拿 "i" 個東西再作排列, 所以那個 i! 會是固定的, 可是像這裡, 假設考慮 i=6, 則像是 1+1+1+3, 1+2+3,... 這些都可以湊出 6, 如此一來我們會無法算出到底要扣掉幾個重複排列, 所以這個問題本質上和我們平常用EGF來解的問題完全不一樣這樣講好像還是有一點抽象, 但希望你有比較清楚為什麼不適用, 或者請你說說看為什麼你會想要用生成函數呢? 也許你自己試過以後就會了解問題出在哪兒了
整數分割、印象中上課是在生成函數那裏、我是想：(1+x/1!+x^2/2!+...)(1+x^2/2!+x^4/4!+...)(1+x^3/3!+x^6/6!+...)(1+x/1!+x^2/2!+...)...因為只會有1234、所以我會這樣寫、但確實有問題、但不知道問題在哪裡？
主要原因還是請參考我上面所提的, 指數生成函數一般只處理排列數固定的情形我幫你把你所定義的這個指數生成函數定義到另一個問題上, 希望這樣你可以體會兩者之間的差別: 你寫的這個式子, 其實就是利用 1,2,3,4 這 4 個字元形成n-序列的方法數之EGF, 其中1 可以放 0,1,2,... 個2 可以放 0,2,4,... 個3 可以放 0,3,6,... 個4 可以放 0,1,2,... 個在這個問題中, 如果是取 w 個 1, x 個 2, y 個 3, z 個 4, 那排列數一定就是 n!/(w!x!y!z!), 這裡的排列數是固定的, 只和取幾個有關, 和取的數字本身無關, 可是在原來的問題中, 那裡的排列數卻是變動的, 能湊成 n 並不代表真的就一定是有 n! 個東西在做排列, 我之前說問題本質不同所指的就是這個
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這個我覺得用指數生成函數可能不太適合, 因為它的一般式不好解, 譬如說在排列裡放 3 個 2 時要考慮的是 x^6, 可是此時只有 3 個東西在做排列, 所以若要扣掉重複的排列, 那麼式子得改成 x^6/3!, 要寫出完整的EGF雖然不難, 但要把它解開恐怕不太容易
呃...那如果只要寫出來呢？解不出來也沒關係..
現在再看一遍, 我覺得昨天的回答不好, 請你把它忘掉好了, 因為我發現這應該是無法用EGF來討論
我們一般之所以會去算出指數生成函數 x^i/i! 的係數, 是因為當我們在考慮 x^i 時, 我們一定是拿 "i" 個東西再作排列, 所以那個 i! 會是固定的, 可是像這裡, 假設考慮 i=6, 則像是 1+1+1+3, 1+2+3,... 這些都可以湊出 6, 如此一來我們會無法算出到底要扣掉幾個重複排列, 所以這個問題本質上和我們平常用EGF來解的問題完全不一樣
這樣講好像還是有一點抽象, 但希望你有比較清楚為什麼不適用, 或者請你說說看為什麼你會想要用生成函數呢? 也許你自己試過以後就會了解問題出在哪兒了
整數分割、印象中上課是在生成函數那裏、我是想：
(1+x/1!+x^2/2!+...)(1+x^2/2!+x^4/4!+...)(1+x^3/3!+x^6/6!+...)(1+x/1!+x^2/2!+...)...
因為只會有1234、所以我會這樣寫、但確實有問題、但不知道問題在哪裡？
主要原因還是請參考我上面所提的,
指數生成函數一般只處理排列數固定的情形
我幫你把你所定義的這個指數生成函數定義到另一個問題上, 希望這樣你可以體會兩者之間的差別: 你寫的這個式子, 其實就是利用 1,2,3,4 這 4 個字元形成n-序列的方法數之EGF, 其中
1 可以放 0,1,2,... 個
2 可以放 0,2,4,... 個
3 可以放 0,3,6,... 個
4 可以放 0,1,2,... 個
在這個問題中, 如果是取 w 個 1, x 個 2, y 個 3, z 個 4, 那排列數一定就是 n!/(w!x!y!z!), 這裡的排列數是固定的, 只和取幾個有關, 和取的數字本身無關, 可是在原來的問題中, 那裡的排列數卻是變動的, 能湊成 n 並不代表真的就一定是有 n! 個東西在做排列, 我之前說問題本質不同所指的就是這個
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