助教你好:
線代第二章習題第37題
我自己寫的證明與老師的不同
不曉得這樣的寫法可不可以
題目為 A,B: NxN
AB:nonsingular <=> A,B:nonsingular
pf:(<=) 因為 B:nonsingular
=>for all X 屬於 Nx１, BX=0 只有零解
=>A(BX) = A0 = 0
所以 AB:nonsingular
(=>)利用矛盾證法
假設 A,B:singular
=>det(A) = 0 且 det(B) = 0
=>det(A)det(B) = det(AB) = 0
所以與已知 AB:nonsingular 矛盾
故得證
4 則留言:
用for all好像怪怪的
存在x屬於 N*1 使得Bx=0
∵B：nonsingular ∴Bx=0 只有零解
這樣寫不知有沒有錯
請各位指教
說破了，這樣證明就好.
方陣 A, B 可逆 <=> AB 可逆.
證明： =>) 因為 AB 的反矩陣為
B^(-1) A^(-1), 這在 A, B 的反
矩陣皆存在時是有意義的.
<=) 先證明 B 可逆. 這相當於證明
BX = 0 時 X = 0. 因為 ABX = 0,
又 AB 為可逆, 所以 X=0, 故 B 可逆.
所以 A = AB B^(-1) 為可逆.
(<=) 這裡因為nonsingular的定義裡本身就存在著一個若p則q的命題, 所以有些同學似乎會在這裡亂掉, 你的寫法問題出在你可能誤會nonsingular的意思了, "Bx=0只有零解"這句話的意思並不是指 B 隨便乘上任一個向量 x 都會等於 0, 也就是說其實Bx有可能不等於0, 所以 ABx=A0 這邊會有問題, 它指的事實上是"若 Bx=0 則 x=0"
所以若要由定義來證, 因為這裡要證的是AB為nonsingular, 那麼應該是要先假設 (AB)x=0,
因為 A:nonsingular => Bx=0
因為 B:nonsingular => x=0
(=>) 想法上沒有太大的問題, 但這邊要注意的是如果要用矛盾證法, "A,B皆為nonsingular"的反命題不是"A,B皆為singular", 應該是 A 或 B 不全為nonsingular, 也就是 A 和 B 至少有一個是singular, 所以過程中應該要改成 det(A)=0 or det(B)=0
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