Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
舉個小例子, 假設 V = R^2, W = span{(0,1)}則 W 為 V 的 subspace, dim(W) = 1, dim(V) = 2, 取 B = {(1,0),(1,1)} 為 V 之一 basis, (1) B - {(1,0)} = {(1,1)} 無法生成 W(2) B - {(1,1)} = {(1,0)} 無法生成 W這樣大一點的反例你應該就知道怎麼取了這和生成裁減定理的概念應該沒有太大的關係, 生成裁減主要是在說明, 我們可以將一個線性相依的生成集一直砍, 砍到成為一個依然生成的獨立集
所以說若V = R^3，W = span{(0,0,1)}，則 W 為 V 的subspace，dim(V) = 3，dim(W) = 1，取 β = {(1,0,0),(0,1,0),(1,0,1)}為 V 之一basis，(1)β-{(1,0,0),(0,1,0)} = {(1,0,1)}，無法生成W(2)β-{(0,1,0),(1,0,1)} = {(1,0,0)}，無法生成W(3)β-{(1,0,1),(1,0,0)} = {(0,1,0)} ，無法生成W是這樣的概念嗎??另外，我無法分辨何為V，然後何為F，還有S，如課本P.3-73定理3-20：假設V為一佈於F的向量空間，dim(V) = n，S 包含於 V，|S| = n，(1)若 S 生成 V，則 S 為 V 的基底(2)若 S 為線性獨立集，則 S 為 V 的基底。舉例來說 A 可逆 <=> "x1a1+...+xnan = 0 => x1 =...= xn = 0"保証行獨立(這邊可以直接說行獨立，還是要說A為行獨立??)，接著行獨立根據上方定理3-20保証行基底，根據課本P.3-76定理3-22(3)的証明是如何得知定理3-20所說的 V，那何為 F，何為 S ?? 謝謝(不好意思問題很多又很長，造成助教困擾，抱歉)
1. R^3的例子ok; 其實這概念用幾何來想也還算單純, 譬如在R^2, 任取兩個線性獨立的向量可生成整個平面, 取法有無限多種, 然而當去掉兩者之一時, 頂多也只決定了平面中的一條線而已, 所以有一大堆的一維子空間沒有辦法被留下來的那個所生成2. 老師在書上寫 V, 通常指的就是一個 vector space, 寫 S 通常指的是那種小小的, 只蒐集少數幾個向量的集合, 像是基底這種3. F 代表的是 field(體), 是一種代數結構, 和 V, S 的意義就完全不一樣了, 簡單的說field是一個集合, 我們在這個集合上定義運算, 並且這些運算要滿足某些特定的性質; 在線代這門課裡確實沒有明確的定義體, 但如果你有上離散的話, 之後在老師教到代數那一章時你應該就會比較了解什麼是體了; 書上在第零章其實有給定義, 不過在這你可以先把它簡單想成是一個取值的空間, 線代常用的 F 就是 R 或 C, 如果你很容易把它跟向量空間搞混的話, 建議你可以再讀讀筆記或書上p3-5介紹的常見的向量空間, 還有滿足向量空間的那8個性質, 應該就會更清楚 V 和 F 的差別在哪裡4. 你可以再仔細看看定理3-20, 要注意的是他給的條件 dim(V) = n = |S|, 這邊主要是在說明, 當 S 的個數與所在空間的維度相同時, S 只需要滿足生成或者是線性獨立, 也就是說不需要兩個都檢查, 即可保證 S 為一 basis所以把定理3-22(3)套到定理3-20, S 指的就是 A 的行向量所形成的那個集合, V 就是 F^nx1; 我們已知 F^nx1 的基底要有 n 個向量, 而因為由(2)知 A 有 n 個獨立的行, 所以這等價於 A 的行會形成 F^nx1 的 basis
考完一陣子了感謝助教這幾個月幫我解決不少疑惑也都很仔細的回答非常謝謝PS:因為不知道助教EMAIL....只好在這邊發言感謝了
pai, 謝謝你喔也希望你有考上你心目中理想的學校 :)
謝謝助教經過助教的解釋比較能體會了對了不好意思助教因為某些原因我可能要再申請另一個新帳號這樣我該如何加入這個部落格呢?
忘記說了換帳號後此帳號就不會再使用了
poloplayer: 就跟之前你申請這個帳號的手續一樣, 可在寄信時說明一下, 這樣應該就沒問題了
現在
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舉個小例子, 假設 V = R^2, W = span{(0,1)}
則 W 為 V 的 subspace, dim(W) = 1, dim(V) = 2,
取 B = {(1,0),(1,1)} 為 V 之一 basis,
(1) B - {(1,0)} = {(1,1)} 無法生成 W
(2) B - {(1,1)} = {(1,0)} 無法生成 W
這樣大一點的反例你應該就知道怎麼取了
這和生成裁減定理的概念應該沒有太大的關係, 生成裁減主要是在說明, 我們可以將一個線性相依的生成集一直砍, 砍到成為一個依然生成的獨立集
所以說若V = R^3，W = span{(0,0,1)}，則 W 為 V 的subspace，dim(V) = 3，dim(W) = 1，取 β = {(1,0,0),(0,1,0),(1,0,1)}為 V 之一basis，
(1)β-{(1,0,0),(0,1,0)} = {(1,0,1)}，無法生成W
(2)β-{(0,1,0),(1,0,1)} = {(1,0,0)}，無法生成W
(3)β-{(1,0,1),(1,0,0)} = {(0,1,0)} ，無法生成W
是這樣的概念嗎??
另外，我無法分辨何為V，然後何為F，還有S，如課本P.3-73定理3-20：假設V為一佈於F的向量空間，dim(V) = n，S 包含於 V，|S| = n，(1)若 S 生成 V，則 S 為 V 的基底(2)若 S 為線性獨立集，則 S 為 V 的基底。舉例來說 A 可逆 <=> "x1a1+...+xnan = 0 => x1 =...= xn = 0"保証行獨立(這邊可以直接說行獨立，還是要說A為行獨立??)，接著行獨立根據上方定理3-20保証行基底，根據課本P.3-76定理3-22(3)的証明是如何得知定理3-20所說的 V，那何為 F，何為 S ?? 謝謝
(不好意思問題很多又很長，造成助教困擾，抱歉)
1. R^3的例子ok; 其實這概念用幾何來想也還算單純, 譬如在R^2, 任取兩個線性獨立的向量可生成整個平面, 取法有無限多種, 然而當去掉兩者之一時, 頂多也只決定了平面中的一條線而已, 所以有一大堆的一維子空間沒有辦法被留下來的那個所生成
2. 老師在書上寫 V, 通常指的就是一個 vector space, 寫 S 通常指的是那種小小的, 只蒐集少數幾個向量的集合, 像是基底這種
3. F 代表的是 field(體), 是一種代數結構, 和 V, S 的意義就完全不一樣了, 簡單的說field是一個集合, 我們在這個集合上定義運算, 並且這些運算要滿足某些特定的性質; 在線代這門課裡確實沒有明確的定義體, 但如果你有上離散的話, 之後在老師教到代數那一章時你應該就會比較了解什麼是體了; 書上在第零章其實有給定義, 不過在這你可以先把它簡單想成是一個取值的空間, 線代常用的 F 就是 R 或 C, 如果你很容易把它跟向量空間搞混的話, 建議你可以再讀讀筆記或書上p3-5介紹的常見的向量空間, 還有滿足向量空間的那8個性質, 應該就會更清楚 V 和 F 的差別在哪裡
4. 你可以再仔細看看定理3-20, 要注意的是他給的條件 dim(V) = n = |S|, 這邊主要是在說明, 當 S 的個數與所在空間的維度相同時, S 只需要滿足生成或者是線性獨立, 也就是說不需要兩個都檢查, 即可保證 S 為一 basis
所以把定理3-22(3)套到定理3-20, S 指的就是 A 的行向量所形成的那個集合, V 就是 F^nx1; 我們已知 F^nx1 的基底要有 n 個向量, 而因為由(2)知 A 有 n 個獨立的行, 所以這等價於 A 的行會形成 F^nx1 的 basis
考完一陣子了
感謝助教這幾個月幫我解決不少疑惑
也都很仔細的回答
非常謝謝
PS:因為不知道助教EMAIL....只好在這邊
發言感謝了
pai, 謝謝你喔
也希望你有考上你心目中理想的學校 :)
謝謝助教
經過助教的解釋比較能體會了
對了
不好意思助教
因為某些原因
我可能要再申請另一個新帳號
這樣我該如何加入這個部落格呢?
忘記說了
換帳號後
此帳號就不會再使用了
poloplayer: 就跟之前你申請這個帳號的手續一樣, 可在寄信時說明一下, 這樣應該就沒問題了
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