Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
根據向量空間的定義, 一個向量空間 V 一定會有零向量 0, 而在這個 V 裡, 只取零向量所成的集合{0}, 我們很容易可以證明它會是 V 的最小的subspace, 所以{0}會是一個vector space, 在這就稱它為零空間; 譬如在 R^2, 零空間就是 {(0,0)}如果 V={0}, β= Ø 其實比較像是定義, 這和定義span{Ø}=0的意思是一樣的, 比較直覺的想法是我們希望 V={0} 要是零維, 所以basis中的元素個數只能有零個, 則 β=Ø, dim({0})=0如果 V=F, 根據向量空間還有span和basis的定義, 因為所有的 a∈F 都可以用來當作線性組合中的係數來湊出所有 F 裡的元素, 所以basis中只要有一個零以外的向量就足夠用來生出整個 F 了; 譬如取 V=F=R, β={1}, for all v∈R, 取 a=v (a∈R) 則 a*1=v (等式左邊的 a 是係數 1 是向量, 右邊的 v 是向量), 所以 span(β)=R, 且 |β|=1 => dim(R)=1
根據向量空間的定義, 一個向量空間 V 一定會有零向量 0, 而在這個 V 裡, 只取零向量所成的集合{0}，這樣的話是不是代表著V裡面存在著許多零向量，所以我們才能取出零向量並收集成集合，但若V=R^2，零向量只有(0,0)，是否還有其他的零向量?這這觀念我懂了所以basis只是1組向量，而我們就是去找出這組向量來滿足span(basis)=V，且這組basis要屬於V，接著這組basis根據定義還要LI，所以這樣才會造成V=F=R, β={1}, for all v∈R, 取 a=v (a∈R) 則 a*1=v (等式左邊的 a 是係數 1 是向量, 右邊的 v 是向量), 所以 span(β)=R, 且 |β|=1 => dim(R)=1
如果是在R^2空間就是 {0,0}如果是在R^3空間就是 {0,0,0}.....依此類推所以如果你的問題是n維空間中 0向量是否唯一 答案是 : yes
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根據向量空間的定義, 一個向量空間 V 一定會有零向量 0, 而在這個 V 裡, 只取零向量所成的集合{0}, 我們很容易可以證明它會是 V 的最小的subspace, 所以{0}會是一個vector space, 在這就稱它為零空間; 譬如在 R^2, 零空間就是 {(0,0)}
如果 V={0}, β= Ø 其實比較像是定義, 這和定義span{Ø}=0的意思是一樣的, 比較直覺的想法是我們希望 V={0} 要是零維, 所以basis中的元素個數只能有零個, 則 β=Ø, dim({0})=0
如果 V=F, 根據向量空間還有span和basis的定義, 因為所有的 a∈F 都可以用來當作線性組合中的係數來湊出所有 F 裡的元素, 所以basis中只要有一個零以外的向量就足夠用來生出整個 F 了; 譬如取 V=F=R, β={1}, for all v∈R, 取 a=v (a∈R) 則 a*1=v (等式左邊的 a 是係數 1 是向量, 右邊的 v 是向量), 所以 span(β)=R, 且 |β|=1 => dim(R)=1
根據向量空間的定義, 一個向量空間 V 一定會有零向量 0, 而在這個 V 裡, 只取零向量所成的集合{0}，這樣的話是不是代表著V裡面存在著許多零向量，所以我們才能取出零向量並收集成集合，但若V=R^2，零向量只有
(0,0)，是否還有其他的零向量?
這這觀念我懂了
所以basis只是1組向量，而我們就是去找出這組向量來滿足span(basis)=V，且這組basis要屬於V，接著這組basis根據定義還要LI，所以這樣才會造成V=F=R, β={1}, for all v∈R, 取 a=v (a∈R) 則 a*1=v (等式左邊的 a 是係數 1 是向量, 右邊的 v 是向量), 所以 span(β)=R, 且 |β|=1 => dim(R)=1
如果是在R^2空間就是 {0,0}
如果是在R^3空間就是 {0,0,0}
.....依此類推
所以如果你的問題是n維空間中
0向量是否唯一 答案是 : yes
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