if v is nonzero finite dimensional vector spaces,and if every set of p elements in v fails to span v
then dim(v)>p
我一開始想是true
但是後來又想到
如果把取P個元素
結果元素居然是LD的 就像R^3空間中
取(1,0,0)(2,0,0)(3,0,0)(4,0,0)(5,0,0) p=5
dim(v)=3 < p=5
這樣就不是true
跟之前問的一樣的問題
這種題目問法我老是搞不清楚
有沒有比較好的想法 或是關鍵字比較好識別的
A^2=A
=>V=ker(A)⊕R(A)
因為V=R(A)垂直⊕R(A)
V=ker(A^t)⊕R(A)
所以ker(A)=ker(A^t)
我想法是因為有交集等於0 保證空間無交集 因此獨立
請教老師後 他說這想法是不對的
他畫了一個平面 然後上面有不一樣的法向量角度
所以空間不一定相同
但是後來想想 平面不是只有一個法向量嗎? 囧
搞不太清楚真正的涵義 所以在上來問一下
以上問題還請多多指教囉
謝謝~~
7 則留言:
1. 嗯, 還是老問題, 就是老師常常強調的甚麼時候是for all, 甚麼時候是for some, 這都要很小心處理才行, 像是這題題目中加了個關鍵字"every", 這就和there exists的意思差很多, 他說的是 "所有" 有 p 個元素的 V 的子集都無法生成 V, 所以如果你只取到一個無法生成 V 且元素個數為 5 的set, 然後發現 p>dim(V), 這並無法否定這個命題, 因為照題目的敘述, 要讓這裡的 if 成立, 那你找到的例子必須滿足"所有"具有 5 個元素的子集皆無法生成 V, 可是像{(1,0,0),(2,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}就可以生成R^3, 那這樣一開始的假設就不成立了, 後面再接著討論dim(V)與p的大小也不具任何意義
你可以再回去看看你上次問的, 那題雖然題目也有寫個every, 但你卡住的地方主要是在於題目對於存在性的描述, 他說的是只要"存在"一個LD set可以生成就好了, 所以說如果你要說它錯, 那你必須說明所有的LD set皆無法生成 V, 只找一個無法生成的LD set出來說明是沒有用的
2. 雖然沒看過老師畫的圖, 但我想老師畫那個圖出來應該是想告訴你, 兩個空間要形成直和不一定要互為orthogonal complement, 因為要達到獨立子空間只要確保交集只有零向量就好, 並不用達到兩空間要互相垂直, 所以說雖然在三維空間中平面的法向量 v 的方向就只有一個, 但若是另外取一個不為法向量的向量 u, 且 u 不落在該平面上, 那麼span{u}這條線和該平面就會互為獨立子空間, 且他們的和空間也會構成整個R^3, 這就是為什麼這想法不會成立的幾何意義
舉一個實際的例子, 令 A =
1 0 0
0 1 0
0 1 0
則 A^2 = A
但 Ker(A) = span{(0,0,1)}
≠ Ker(A^T) = span{(0,-1,1)}
把這個例子的圖畫出來, 並且對應回去老師所畫的圖, 在他畫的平面上面標 R(A), 法向量就標(0,-1,1), 然後另一個向量標(0,0,1), 這樣你應該就知道老師在說甚麼了
第二題太感謝助教了
還有舉例QAQ
就甘心
第一題部分想再確認一下
所以這邊的every set fail to span v
是說全部的set都無法生成V
而我舉的條件不行
因為可以找到能生成的反例
唯一的方法就是把V的維度弄很高
讓every set都無法生成他
是這意思嗎?
再換個方法說好了, 假設取 b 為 V 的一組基底, 則 b 會生成 V, 且|b|=dim(V), 所以如果說所有具有 p 個element的 V 的子集都無法生成 V, 那就代表|b|一定大於 p (否則的話一定可以取到一個set s, b⊆s 且 |s|=p, 使得 s 生成 V, 則矛盾假設), 所以 dim(V)>p
居然卡在這奇怪的地方
謝謝助教耐心地回答
請問一下助教
if v is nonzero finite dimensional vector spaces,and if every set of p elements in v fails to span v
then dim(v)>p
我舉個counterexample:
choose V = R^3
S = {(1,0,0),(0,2,0),(0,1,0)}
span(S) != V ,But dim(v) = p =3
所以我覺得他是錯的。
這樣舉對嗎
To Jeremy
這邊題意經過助教解釋
大致上懂了:)
幫忙回答一下
every every set of p elements in v fails to span v
是說所有的set 具有P個元素
且不能生成V
那你的舉例中
並沒有符合"所有"的例子
因為{(1,0,0),(0,2,0),(0,1,0)}
我可以找到一個
{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}
去生出他
但是如果你的舉例
我們取兩個向量
則不管怎麼組合 都沒有辦法生成R3
大致上是如此
Jeremy你跟AI都卡在一樣的地方, 就是想不清楚命題的反面為何, 導致你們想找反例可是找到的都不是反例, 真正的反例必須滿足的是: "所有具有 p 個element的 V 的子集都無法生成 V, 然而dim(V)卻小於等於p," 所以你找這個例子不構成反例
如果你要否定一個若p則q的命題, 那麼你首先要做的事是要先滿足他的假設, 也就是說如果命題的敘述是"若p則q", 那他的反面應該是"p且非q", 比方說如果你要證實"若我有吃三碗飯, 則肚子就會飽"這句話是錯的, 那一定是因為你曾經有過吃了三碗飯卻還是覺得餓的經驗, 而不是去想哪一天你只吃一碗飯然後再來想那一天有沒有飽
這題是true, 證明就是我上一次回的那個觀念
我把它寫清楚好了:
若存在 p 使得所有具有 p 個元素的 V 的子集
都無法生成 V 且 dim(V)≦p,
取 b 為 V 的一組basis
=> |b|=dim(V)≦p
將 b 擴增成一個具有 p 個元素的集合 S,
S 生成 V, 則產生矛盾
我會這麼囉唆是因為這裡的邏輯基本觀念真的是超級重要的喔, 一定要弄清楚, 否則下次還是會卡在類似的敘述上, 也謝謝AI幫忙說明, 看來你真的有懂了
張貼留言