[以下皆為線代第三版下冊]
Q1:(p5-51頁例題10)想請問一下為啥假設到n=k-1時,在P5-52頁的det最右邊那排應該是-a(0)至-a(k-2)- x 而且假設他成立後,後面那段式子應該是 (-1)^k-1 *(a0+a1x+....+ak-2*x^k- 2+x^n-1)怎會變 成書上那種表示法,是我計算錯誤嗎@@?
Q2:(P5-56頁例題16)卡在第6行推導致第7行,為什麼那個特徵跟空間會是B的invariant subspace感覺上面的推導,覺得此特徵根並不是B的阿
Q3:(P5-129頁例題53) 倒數第三行的y1,y2 他們的e^-2t的係數 是怎導出來的想說是積分嗎?
但是到(P5-149例題12)倒數第2行的e^-2t的係數又感覺好像不是...
Q4:(P5-151頁例題14)這題想說找出D以後,可以找出一S使得f(S)=D在利用A~S找出A,在這裡覺得還是稍微卡卡的,因為覺得(P5-6的定理4 若p則q) 怎在這裡感覺好像變成若q則p的反推回去?想請問一下這邊所使用的概念跟想法QQ
麻煩助教跟各位大大能幫忙解惑@@感謝
5 則留言:
1. 這題有勘誤過了, 不過勘誤還是有點問題, p5-52第一行最後應為(-1)^(k-1) * (a_1 + (a_2)x + ... + (a_(k-1))*x^(k-2) + x^k-1), 就是跟對第一列展開後(解答倒數第四行)代進去的結果要一樣, 然後最後一行應為 ((-1)^k)(a_0 + (a_1)*x + (a_2)*x^2 + ... + (a_(k-1))*x^(k-1)+x^k)
2. 跟 x 是不是 B 的特徵跟沒甚麼關係, 這裡欲證的是 V(λ) 為 B-invariant subspace (第七行), 因為有了V(λ)為 B-invariant subspace這個結果, 才可以定義出下面(第八行)的那個linear operator, 而V(λ) 為 B-invariant subspace 的意思就是說, A 的特徵根在 B 的作用下仍然會是 A 相對於λ的特徵根, 那麼根據定義就是要證明for all x∈V(λ) ⇒ Bx∈V(λ), 解答的第三行到第六行就是在證明這件事
3. 那兩題過程中都需要知道如何解微分方程, 你可能要稍微翻一下工數的書, 或參考一下這篇文章:
http://zjhwang.blogspot.com/2008/01/p5-129.html
4. 假設 B 同書上所定義的, f(x)=x^2-3x+1, 則 f(A)=B, 所以假設λ為 A 的eigenvalue, 則 f(λ)為 B 的 eigenvalue, 所以假設 A = PSP^-1, 則 B = f(A) = Pf(S)P^-1, 其中f(S)為對角矩陣且對角線為 B 的eigenvalue, 所以對已知的 B 做對角化以後我們就可以算出 P 還有 f(S), 進一步的來推得 S (共四種可能), 這樣 A 就算出來了
上面 2. 的地方有打錯, 我想打的是 "而V(λ) 為 B-invariant subspace 的意思就是說, A 相對於λ的特徵向量在 B 的作用下仍然會是 A 相對於λ的特徵向量"
謝謝助教~
不過我對Q1還是稍微有點疑問耶~
因為在算到P5-52的第4行時,要用到n=k-1時的行列式,所以回去推,發現展開後的行列式排法不是像書上第一行那樣耶,n=k-1時原式應該是
-x 0 0 .... 0 -a_0
1 -x 0 .... 0 -a_1
0 1 -x .... 0 -a_2
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0 0 0 .... -x -a_k-3
0 0 0 .... 1 -a_k-2-x
想說按照題意,怎會推出右下角是-a_k-1-x
這裡重點要看的是我們後面在展開時, 要代入的是哪個(k-1)x(k-1)的矩陣的行列式, 那就根據數學歸納假設把該矩陣的行列式根據題目給的form寫出來就好了, 而不是直接把題目給的矩陣縮小, 那個我們用不到, 因為在第四行裡, 書上是對第一列做展開, 所以才會把我們對第一列展開之後所得到的那個矩陣的行列式在第一行特別列出來做說明
哦哦~所以我想太多哩~~感謝助教的幫忙~@@!
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