Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
這幾題多半是問觀念、並沒有一定要證明。1-35. 現在有E1,E2,E3三個列基本矩陣使得E3E2E1A=U、其中 U 為上三角矩陣若令L=E1之反矩陣E2之反矩陣E3之反矩陣三者相乘，則 L 必定為下三角矩陣。Ans:列基本矩陣為單位矩陣做一次列運算所得到的矩陣，回顧一下筆記可得知、只有標準第三型列運算(不做列交換的)才可以得到下三角矩陣、此時列基本矩陣的反矩陣仍然為下三角。在之前的證明中已得知下三角矩陣相乘仍然是下三角矩陣。故此時L為下三角矩陣。但倘若E1,E2,E3其中有任何一個不是下三角矩陣呢？此時 L 就不會是下三角矩陣了。1-29.矩陣A是Singular若且唯若A的rref是IAns:在這裡nonsingular等價於A可逆singular等價於A不可逆。所以應當是nonsingular的rref才是I喔！不然我們平常怎麼算反矩陣的呢？你的筆記1：一個線性系統Ax=b若有超過一個解(無限多解)、則Ax=0必有無限多解Ans:假設A為mxn矩陣rank(A)為做列運算後的非零列個數。Ax=b若有無限多解代表rank(A)<n則Ax=0的rank(A)當然也<n(因為兩個A是同一個A阿!!)又Ax=0必有零解、rank(A)又<n，所以Ax=0有超過一個解、也就是無限多解。你的筆記2:已知Ax=b無解，但Ax=0可能有無限多解。Ans:Ax=b無解代表 rank(A)!=rank(A|b)此時Ax=0中的rank(A)<=b，若rank(A)<b，Ax=0就會有無限多解了。你的筆記3:若A是一個mxn的矩陣且n<m，則Ax=0有無限多解。Ans:這個一臉就很假的樣子。rank(A)<n時，Ax=0有無限多解，但題目沒有提到這個條件。試著舉反例試試看，應該隨便舉都是反例。例如： ┌ ┐ | 1 1 |A=| 0 1 | 此時Ax=0只有零解。 | 1 3 | └ ┘
A為1 10 11 3以上淺見...
想請問一下老師說可以從學長那邊COPY到筆記請問要去哪COPY我怕我抄的不夠清楚...感謝你的說明
找學長就是找認識的, 或者是坐隔壁的同學也可以, 如果都沒有, 筆記的內容其實書上都會有, 所以有覺得不夠清楚的地方你可以翻課本來對照著看
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這幾題多半是問觀念、並沒有一定要證明。
1-35.
現在有E1,E2,E3三個列基本矩陣使得E3E2E1A=U、其中 U 為上三角矩陣若令L=E1之反矩陣E2之反矩陣E3之反矩陣三者相乘，則 L 必定為下三角矩陣。
Ans:
列基本矩陣為單位矩陣做一次列運算所得到的矩陣，回顧一下筆記可得知、只有標準第三型列運算(不做列交換的)才可以得到下三角矩陣、此時列基本矩陣的反矩陣仍然為下三角。在之前的證明中已得知下三角矩陣相乘仍然是下三角矩陣。故此時L為下三角矩陣。
但倘若E1,E2,E3其中有任何一個不是下三角矩陣呢？此時 L 就不會是下三角矩陣了。
1-29.
矩陣A是Singular若且唯若A的rref是I
Ans:
在這裡nonsingular等價於A可逆
singular等價於A不可逆。
所以應當是nonsingular的rref才是I喔！不然我們平常怎麼算反矩陣的呢？
你的筆記1：
一個線性系統Ax=b若有超過一個解(無限多解)、則Ax=0必有無限多解
Ans:
假設A為mxn矩陣
rank(A)為做列運算後的非零列個數。
Ax=b若有無限多解代表rank(A)<n
則Ax=0的rank(A)當然也<n
(因為兩個A是同一個A阿!!)
又Ax=0必有零解、rank(A)又<n，所以Ax=0有超過一個解、也就是無限多解。
你的筆記2:
已知Ax=b無解，但Ax=0可能有無限多解。
Ans:
Ax=b無解代表 rank(A)!=rank(A|b)
此時Ax=0中的rank(A)<=b，若rank(A)<b，Ax=0就會有無限多解了。
你的筆記3:
若A是一個mxn的矩陣且n<m，則Ax=0有無限多解。
Ans:
這個一臉就很假的樣子。
rank(A)<n時，Ax=0有無限多解，但題目沒有提到這個條件。
試著舉反例試試看，應該隨便舉都是反例。
例如：
┌ ┐
| 1 1 |
A=| 0 1 | 此時Ax=0只有零解。
| 1 3 |
└ ┘
A為
1 1
0 1
1 3
以上淺見...
想請問一下老師說可以從學長那邊COPY到筆記
請問要去哪COPY我怕我抄的不夠清楚...
感謝你的說明
找學長就是找認識的, 或者是坐隔壁的同學也可以, 如果都沒有, 筆記的內容其實書上都會有, 所以有覺得不夠清楚的地方你可以翻課本來對照著看
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