Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
什麼時候要找1-1, 什麼時候要onto, 不是只看可數還是不可數, 主要還是要看你要證的是什麼, 看你想證的是哪個集合的cardinality比較多, 或者是一樣多, 當我們想要證明兩個集合的個數一樣多時我們就會想要找一個bijective function這裡要找1-1且onto的函數主要是為了要證明(0,1)的個數不可能為|N|, 也就是說如果我們能證明(0,1)的cardinality不可能和可數集一樣多, 這樣就算是證明了(0,1)為不可數集, 所以這裡我們所用的證明方法, 就是利用矛盾證法來說明假設(0,1)與Z+的個數一樣多的話, 就會導致矛盾(因為Z+為可數集), 而要假設(0,1)與Z+的個數一樣多的方法就是假設存在一個f:Z+->(0,1), f為1-1且onto
感謝助教，不過我還有些疑問因為我有看到推廣2-2，"A為無限集，若存在f:A->Z+為1-1，則A為可數集"，可是本題解的第一行也說了他"不是有限集"，所以(0,1)是無限集，因此我只要找出他不可能存在一個f:(0,1)->Z+為1-1，就可得證了(一樣用矛盾證法)，這樣的證法也可以嗎?還有是不是這種函數(f:(0,1)->Z+)比較難找，所以才不往這個地方證?
若存在f:A->Z+為1-1，則A為可數集似於 P→Q但非P→非Q是不對的所以我認為，不存在1-1無法因此證出A為不可數集以上淺見..
這個問題還滿有趣的, Loxis的想法有一半是對的只是看起來你好像是運氣很好, 誤打誤撞對的就如同月同學所提醒的, 單就推廣2-2的邏輯來看, 不存在f:(0,1)->Z+為1-1的確並不能保證(0,1)就不是可數集, 但是, "不存在f:(0,1)->Z+為1-1則(0,1)為不可數集"這句話其實是對的, 為甚麼呢? 因為根據定義, "(0,1)為可數集=>存在f:(0,1)->Z+為1-1且onto", 所以只要"存在f:(0,1)->Z+為1-1"不成立, 那"(0,1)為可數集"也不會成立 (~q->~p)因為我們知道(0,1)為無限集, 而Z+又是最小的無限集, 所以我們想證的是(0,1)確實會比Z+要來得多, 那如果要用矛盾證法, 就應該是要去假設(0,1)不比Z+多來產生矛盾點, 其方法有二, 一種是假設存在f:(0,1)->Z+為1-1 (這也就是Loxis的想法), 另一種是假設存在f:Z+->(0,1)為onto (對角線論證一般所採取的就是這一種)
感謝月大跟助教~還想請問助教，為什麼我看定義是寫說"存在f:A->Z+為1-1且ontoA=>為可數集"，因為課本是文字敘述，我自己把它解讀成若P則Q的型式，是這樣解讀有誤，還是它其實是雙向定義的?
只要是定義都是雙向的, 我們一般會寫成像這樣: "若...則稱之為...", 表面上看起來是只有單向, 但這其實只是口語或文字表達上的慣用方式而已, 這點還滿重要的, 要記得喔
定義都是雙向的，懂了謝謝助教!
張貼留言
8 則留言:
什麼時候要找1-1, 什麼時候要onto, 不是只看可數還是不可數, 主要還是要看你要證的是什麼, 看你想證的是哪個集合的cardinality比較多, 或者是一樣多, 當我們想要證明兩個集合的個數一樣多時我們就會想要找一個bijective function
這裡要找1-1且onto的函數主要是為了要證明(0,1)的個數不可能為|N|, 也就是說如果我們能證明(0,1)的cardinality不可能和可數集一樣多, 這樣就算是證明了(0,1)為不可數集, 所以這裡我們所用的證明方法, 就是利用矛盾證法來說明假設(0,1)與Z+的個數一樣多的話, 就會導致矛盾(因為Z+為可數集), 而要假設(0,1)與Z+的個數一樣多的方法就是假設存在一個f:Z+->(0,1), f為1-1且onto
感謝助教，不過我還有些疑問
因為我有看到推廣2-2，"A為無限集，若存在f:A->Z+為1-1，則A為可數集"
，可是本題解的第一行也說了他"不是有限集"，所以(0,1)是無限集，因此我只要找出他不可能存在一個f:(0,1)->Z+為1-1，就可得證了(一樣用矛盾證法)，這樣的證法也可以嗎?還有是不是這種函數(f:(0,1)->Z+)比較難找，所以才不往這個地方證?
若存在f:A->Z+為1-1，則A為可數集
似於 P→Q
但非P→非Q是不對的
所以我認為，
不存在1-1無法因此證出A為不可數集
以上淺見..
這個問題還滿有趣的, Loxis的想法有一半是對的
只是看起來你好像是運氣很好, 誤打誤撞對的
就如同月同學所提醒的, 單就推廣2-2的邏輯來看, 不存在f:(0,1)->Z+為1-1的確並不能保證(0,1)就不是可數集, 但是, "不存在f:(0,1)->Z+為1-1則(0,1)為不可數集"這句話其實是對的, 為甚麼呢? 因為根據定義, "(0,1)為可數集=>存在f:(0,1)->Z+為1-1且onto", 所以只要"存在f:(0,1)->Z+為1-1"不成立, 那"(0,1)為可數集"也不會成立 (~q->~p)
因為我們知道(0,1)為無限集, 而Z+又是最小的無限集, 所以我們想證的是(0,1)確實會比Z+要來得多, 那如果要用矛盾證法, 就應該是要去假設(0,1)不比Z+多來產生矛盾點, 其方法有二, 一種是假設存在f:(0,1)->Z+為1-1 (這也就是Loxis的想法), 另一種是假設存在f:Z+->(0,1)為onto (對角線論證一般所採取的就是這一種)
感謝月大跟助教~
還想請問助教，為什麼我看定義是寫說"存在f:A->Z+為1-1且ontoA=>為可數集"，因為課本是文字敘述，我自己把它解讀成若P則Q的型式，是這樣解讀有誤，還是它其實是雙向定義的?
只要是定義都是雙向的, 我們一般會寫成像這樣: "若...則稱之為...", 表面上看起來是只有單向, 但這其實只是口語或文字表達上的慣用方式而已, 這點還滿重要的, 要記得喔
定義都是雙向的，懂了
謝謝助教!
張貼留言