2. 我後來猜了一下網址有幫你查到原題了, 因為從你打的題目我看不到 "=1", 所以不知道那個式子到底是要滿足什麼, 幫你補一下原題: Consider the equation 像這樣. For which n such that the equation has positive intefer solution of x_k? Note: it is known that 1/4+1/4+1/4+1/9+1/9+1/36=1 and 1/4+1/4+1/9+1/9+1/9+1/9+1/36+1/36=1
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第一題不是今年台大資工題目嗎= =
不是要求det(Pn+1)/ det(Pn)
我是寫1/36n = =!!
應該是錯的 這題我也想好久哭哭
1. 這樣寫很好
2. 你題目是不是漏打了什麼? 怎麼中間看起來空空的
題目是Pn=圖上的那個矩陣，要求det(Pn+1)/ det(Pn)，這題真是有夠殺腦細胞的…
那是用方程式編輯器打的
因不太會用所以沒空好
中間是沒漏打...
至少就我記得的題目部分是如此：
求滿足一些正整數平方後取倒數的加總為1的所有n值
2. 我後來猜了一下網址有幫你查到原題了, 因為從你打的題目我看不到 "=1", 所以不知道那個式子到底是要滿足什麼, 幫你補一下原題:
Consider the equation 像這樣. For which n such that the equation has positive intefer solution of x_k? Note: it is known that 1/4+1/4+1/4+1/9+1/9+1/36=1 and 1/4+1/4+1/9+1/9+1/9+1/9+1/36+1/36=1
這題也不太好想, 我是先試幾個例子, 想辦法讓 n 漸漸變大, 找出中間的規律, 再用強數學歸納法來證:
首先當 n=2,3,5 時稍微討論一下就可以發現辦不到
欲證當 n 不為 2,3,5 時皆存在此種分割:
By induction on n,
n=1: 1/1
n=4: 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4
n=6: 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/9 + 1/9 + 1/36
n=7: 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16
n=8: 1/4 + 1/4 + 1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/9 + 1/36 + 1/36
假設 n<k 時 OK, Consider n=k:
(1) if k=1+3t, for some t>0, 因為 1+3(t-1)=3t-2 時OK, 則在這3t-2項中任挑一項出來, 假設挑的是1/x^2, 因為 4 個 1/(2x)^2 加起來會是 1/x^2, 所以將原本的一個 1/x^2 換成四個 1/(2x)^2, 即形成一個總共有 (3t-2)-1+4 = k 項的分解
(2) if k=6+3t, for some t>0, 因為 6+3(t-1)=3t+3 時OK, (...中間過程省略...,) 即形成一個總共有 (3t+3)-1+4 = k 項的分解
(3) if k=8+3t, 這也留給你練習了
台大資工那個矩陣是有名的Hilbert matrix, 它是相當有名的矩陣, 一個非常近似singular的nonsingular matrix, 也就是它的condition number非常大但卻是nonsingular matrix, 這個矩陣一般出現在考古題中都是要證明它是positive definite matrix, 證明positive definite matrix一般是用inner product去證比較快, 例如99年中興應數那一題
這個題目要求行列式在考古題中倒是第一次看到, 台大一向喜歡考一些利用特殊技求行列式的問題, 這幾年都是如此, 這個矩陣求行列式比較快的作法確實是利用列運算後降階, 造出遞迴式子後再解遞迴, 列運算的最主要的概念就是每一列減去最後一列, 做了這一步之後後面就只要把每一列跟每一行的因式提到行列式外面, 再來就會看到最後一列皆為1, 利用行運算把最後一列變成只剩一項後就可以順利降階後得到一個size小一點的Hilbert matrix, 大概的作法跟Brain in black寫的一樣
真巧，今天才在題庫T5看到中興那題
不過Hilbert矩陣的a11項似乎是從1開始，那題比較像Xi=i,Yj=-j的Cauchy矩陣？
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