特徵根為 -3 和 1，當 -3 的特徵向量沒有問題但是
特徵跟 1 可以求出
X1=X2-X3
令X2=s , X3=t
[s-t, s ,t]^T=s[1, 1, 0]^T+t[-1, 0, 1]^T...............A
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X2=X1+X3
令X1=u , X3=t
[u, u+t, t]^T=u[1, 1, 0]^T+t[0, 1, 1]^T...............B
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這兩種解的單範正交不同，不為單範正交要做Gram，單範正交要為1
A=1*(-1)+0+0=-1
B=0+1*1+0=1
可是A不為單範正交，B為單範正交，到底做不做Gram........還是單範正交可為 -1 ???
令X2=s , X3=t
[s-t, s ,t]^T=s[1, 1, 0]^T+t[-1, 0, 1]^T...............A
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X2=X1+X3
令X1=u , X3=t
[u, u+t, t]^T=u[1, 1, 0]^T+t[0, 1, 1]^T...............B
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這兩種解的單範正交不同，不為單範正交要做Gram，單範正交要為1
A=1*(-1)+0+0=-1
B=0+1*1+0=1
可是A不為單範正交，B為單範正交，到底做不做Gram........還是單範正交可為 -1 ???
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還有特徵根為 1 時，因為變數位置取的不同，有三組特徵向量，就用A B兩種來看，要寫哪組???
6 則留言:
1. 這兩組基底 A 和 B 都不是orthonormal basis, 因為 A 和 B 裡面的向量彼此做內積都不是 0, 且自己和自己做內積也不是 1; 同學你基本的定義可能要再看仔細一點, 如果是要求 orthonormal basis, 就要把基底找出來做 Gram-Schmidt Process來找出orthogonal basis, 然後記得要做normalization, 除非你事先就有有檢查出我上述的那兩件事都成立
2. 只要都是相對於同一個 eigenvalue 的 independent eigenvectors, 任取哪一組都可以
可是B是答案給的，而且用B的答案做驗算
p^-1=
[-1 1 -1]
[2 -1 1]
[1 -1 2]
p=
[1 1 0]
[3 1 1]
[1 0 1]
d=
[-3 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
p^-1*d*p=A 正確耶...
另一題
A=
2 2 -2
2 -1 4
-2 4 -1
這題解出來
1 2 -2
-2 1 0
2 0 1
確實不是orthonormal basis
解答就有做Gram-Schmidt Process
1/3 ; 2√5 ; -2/3√5
-2/3; 1√5 ; 4/3√5
2/3 ; 0 ; 5/3√5
都為orthonormal basis
可是問題就是上一題不是，可是解答沒做
但是驗算答案卻正確
我發現一個問題
這題的A不是對稱矩陣
所以解答的答案才不用互為正交?
1. 這裡原本的問題就只是在問如何做對角化, 不用做到正交對角化, 我之前的回答是針對你說你想要找單範正交集的情況下來解釋的
2. "A: real symmetric => A 可正交對角化" 這個定理的意思不是說我們所找出來的 P 一定會是 orthogonal matrix, 而是說我們"可以"找到一個 P 為 orthogonal 使得 (p^-1)AP=D
3. 假設題目今天給的 A 是 symmetric, 如果他只請你做對角化, 你也不用一定要去找正交集, 除非他是要你做正交對角化, 那針對相對於同一個eigenvalue的eigenvectors, 此時我們才需要去檢查是否該做GS-process使其成為orthogonal set
我懂了，我也發現我題目沒看清楚= ="
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