關於費瑪小定理證明的疑問

題目是:

Suppose that p is a prime and we are given a number

n屬於{0,1,....,p-1}.Assume that gcd(n,p)=1.Show the following.

(a)an ≡ bn (mod p) if and only if a ≡ b (mod p)

(b){n mod p,2n mod p,.....,(p - 1)n mod p} = {1,2,.......,p-1}

(c)Prove that n^p-1 ≡ 1 (mod p)

然後解題步驟如下:

(a) a ≡ b (mod p)

<=>p|(a-b)

<=>p|(a-b)n

<=>p|(an-bn)

<=>an ≡ bn (mod p)

(b)令X1 ≡ n mod p

X2 ≡ 2n mod p

......

Xp-1 ≡ (p-1)n mod p

=>X1*X2*....*Xp-1 ≡ 1*2*.....*(p-1) ≡

(p-1)!(mod p)

問題在(c)小題

(c) X1*X2*....*Xp-1 ≡ 1*2*.....*(p-1) ≡

(p-1)!(mod p)

另外X1*X2*....*Xp-1 ≡ (n)*(2n)......*[(p-1)n] (mod p) ≡ (p-1)!n^p-1 (mod p)

=>(p-1)!n^p-1 ≡ (p-1)! (mod p)

因為p與(p-1)!互質

=>n^p-1 ≡ 1 (mod p)

因為題目說p是質數阿,

所以我也可以說p跟(p-2)!或(p-3)!或(p-4)!.....或[p-(p-1)]!互質阿,

那不就也可以證明成,

n^p-2 ≡ 1 (mod p),

n^p-3 ≡ 1 (mod p),

........

n^1 ≡ 1 (mod p)嗎？

這樣很怪阿...我是不是哪裡想法錯誤,可以幫我指正一下嗎？

謝謝！