在證相異的eigenvalue有LI的eigenvector
筆記上的方法
是利用數學歸納法
假設n=1 成立
when n = r-1時 也LI
欲證 n=r時 也LI
利用相異的eigenvalue 來證明n=r-1時 eigenvecor是LI的
這邊我感到有些奇怪
數學歸納法不是假設n=r-1成立嗎?
那為什麼還要去證r-1的相異eigenvalue有LI的eigenvector呢?
如果直接寫
α1V1+α2V2+.....αr-1Vr-1=0
然後代進去
α1V1+α2V2+.....αr-1Vr-1+αrVr=0
所以αrVr=0 ,αr=0 這樣不是很happy嗎?
雖然這樣好像沒用到相異的eigenvalue這個條件就是了orz
不知道是不是跟馬顏色那一題犯的錯誤一樣?
可是這不是證的出來嗎?
想請教大家是否有哪邊漏掉的 THX
2 則留言:
linear independent為一個若p則q的命題
當我們知道v1, v2, ..., vk為LI時
它並不是告訴我們
a1v1 + a2v2 + ... + akvk = 0
而是告訴我們
當a1v1 + ... + akvk = 0時
保證a1 = ... = ak = 0
這點是我們上課不斷強調, 也是學生們最常
犯的錯誤, 所以同學們使用上要特別小心
以下我們再來看這個問題
根據數學歸納假設v1, ..., vr-1為LI
不可以直接寫a1v1+...+ar-1vr-1=0
應該說如果那一天您可以證明到
a1v1+...+ar-1vr-1 = 0時
您就可以用a1 = ... = ar-1 = 0的結果
所以結論是
因為v1, ..., vr-1為LI
它沒有保證a1v1+...+ar-1vr-1必為0
我瞭了
v1,v2...vn-1:LI
不保證α1V1+α2V2+.....αr-1Vr-1=0
數歸是針對一條件 我卻用了兩個orz
感謝老師
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