這個定理叫做 Cantor's Theorem, 因為這裡定的 g 事實上並不存在, 所以 B 也不存在, 這樣的確是比較不容易想像, 但其實用例子來看的話, 他的概念應該也不太難, 有點像是我們在證(0,1)為不可數集那樣的想法, 在當時我們取的數都故意取跟對角線不一樣的, 這樣那個數就會對不到, 這裡也差不多, 我們想證明如果那個 B 有被對到, 則一定會產生矛盾
譬如定義 g: N->P(N) 為 g(2)={3}, g(3)={2}, g(i)={i}, for all i in N-{2,3}, 則根據 B 的定義, 因為 2∉{3}, 3∉{2}, i∈{i} for all i in N-{2,3}, 所以 B={2,3}, 可是這樣子我們會找不到一個 b∈N 使得 g(b)=B, 因為根據 B 的定義 b 一定不等於 2 或 3, 可是如果是 2 或 3 以外的自然數, 因為他們都不屬於 B, 所以還是根據 B 的定義, B 會把它們都蒐集起來, 這樣就矛盾了; 這邊的 g 只是舉例讓你感覺看看 B 是什麼, 而事實上每一個被假設為 1-1 且 onto 的 g 都會導致矛盾
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這個定理叫做 Cantor's Theorem, 因為這裡定的 g 事實上並不存在, 所以 B 也不存在, 這樣的確是比較不容易想像, 但其實用例子來看的話, 他的概念應該也不太難, 有點像是我們在證(0,1)為不可數集那樣的想法, 在當時我們取的數都故意取跟對角線不一樣的, 這樣那個數就會對不到, 這裡也差不多, 我們想證明如果那個 B 有被對到, 則一定會產生矛盾
譬如定義 g: N->P(N) 為 g(2)={3}, g(3)={2}, g(i)={i}, for all i in N-{2,3}, 則根據 B 的定義, 因為 2∉{3}, 3∉{2}, i∈{i} for all i in N-{2,3}, 所以 B={2,3}, 可是這樣子我們會找不到一個 b∈N 使得 g(b)=B, 因為根據 B 的定義 b 一定不等於 2 或 3, 可是如果是 2 或 3 以外的自然數, 因為他們都不屬於 B, 所以還是根據 B 的定義, B 會把它們都蒐集起來, 這樣就矛盾了; 這邊的 g 只是舉例讓你感覺看看 B 是什麼, 而事實上每一個被假設為 1-1 且 onto 的 g 都會導致矛盾
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