一、(97台大資工) Suppose that (R, +, ×) is a ring. Prove that if S包含R is finite, then (S, +, ×) is a ring if
二、In how many ways can 60060 be factored into three factors, each greater than 1, if the order of the factors is not relevant?
謝謝
2010-02-23
離散~
二、In how many ways can 60060 be factored into three factors, each greater than 1, if the order of the factors is not relevant?
謝謝
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同題借問一下
if and only if for a, b ∈S, a +(-b)∈S and a×b∈S.
老師的解法是寫:
1.identity:
存在a∈S，a+(-a)=0∈S，所以S具identity 0
2.for all a∈S，因為0∈S，所以
0+(-a)=-a∈S，所以S具inverse
有點不懂為什麼這樣寫，如果是我寫
1.a+(-0)=a →S具identity 0
2.a+(-a)=0 →S具inverse
不是應該這樣寫嗎??
2.我的想法是 60060=2*2*3*5*7*11*13
先把3到13分成3個factors,有s(5,3)
再把兩個2放進去,有2個2在同一個factor
C(3,1),2個2分開C(3,2)
所以共有25*3*2種
We only need to show -a∈S for every a∈S
因為這題是台大的第二小題，如果你可以證明-a∈S，就可以利用第一小題的結果
第1題有同學回答了, 至於第2題我覺得這比較不好想, pai的做法會少算, 因為那樣子做在還沒放 2 時就已經先不允許空箱了, 但事實上 2 也有可能獨立出來
我的作法是考慮以下兩種case:
[case 1] 兩個 2 分開:
(1) 將所有其他的數放進那個沒有 2 的空箱 => S(5,1)
(2) 將所有其他數放進兩個箱子裡, 不允許空箱, 其中2箱中有一箱裡面有 2 => 2*S(5,2)
(3) 將所有其他數放進三個箱子裡, 不允許空箱, 其中3箱中有一箱沒有2 => 3*S(5,3)
[case 2] 兩個 2 放一起:
(1) 將所有其他數放進空的那兩個箱子裡, 不允許空箱 => S(5,2)
(2) 將所有其他數放進三個箱子裡, 不允許空箱, 其中3箱中有一箱有兩個2 => 3*S(5,3)
所以總數為
S(5,1)+2*S(5,2)+3*S(5,3)+S(5,2)+3*S(5,3)
= S(5,1) + 3*(5,2) + 6*(5,3)
= 1 + 3*15 + 6*25 = 196
我另外還有個想法可求得總方法數為 3*S(6,3) - 3*S(5,3) + S(5,1) =196, 不過要說明也有點麻煩就是了
被助教遺忘了~~XD
Tse: 根據原題, 你想打的應該是Prove that (S,+,˙) is a subring of R if for a, b ∈S, a +(-b)∈S and a×b∈S; 因為他給的已知是對所有的 a 和 b, a+(-b)都會落在 S 裡, 所以如果要說明 S 有 identity, 就要去找出a,b使得 0=a+(-b)∈S, 而你的寫法只是從 R 裡面取了 0 出來做運算, 不見得會保證 0 會在 S 裡
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