Let C(n,k)=n!/(k!(n-k)!) and note that 1+2+...+n=C(n+1,2)
a) Let u=(1,...,1)^T, v=(1,2,...,n)^T and W=span{u,v}. 我們要證的是 W 為 L-invariant, 即 L(W) in W (L(W)包含於 W). 因為 {u,v} 為 W 之 basis, 所以只需證明 L(u),L(v) in W 即可. 而由於 {u,v} 為 W 基底, 換言之, 只需證明 L(u),L(v) 可寫成 u 和 v 的線性組合.
c) 因為 rank=2, char_T(x) 長得像 (-x)^{n-2}(x-α)(x-β), where α and β 為非零 eigenvalues. 所以只要找出 α 和 β 或者說 (x-α)(x-β) 就得到答案了. 假設 z 為一 eigenvector w.r.t. a non-zero eigenvalue. 則 z in W; otherwise Qz=0, 因為 W 是 L-invariant (by (a)) 而且又是 2-dimentional, 所以其實 W 就是 eigenspaces of α and β 的 span. 假設 Qz=λz. 因為 z in W, 故可假設 z=au+bv, 所以
註1: 為了怕你們觀念不正確, 我解釋一下, 雖然滿簡單的. If {u,v} is linearly indep and a,b,c,d are numbers such that au+bv=cu+dv, then a=c and b=d. 因為移項得到 (a-c)u+(b-d)v=0. 線性獨立定義得知 a-c=0 and b-d=0.
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Let C(n,k)=n!/(k!(n-k)!) and note that 1+2+...+n=C(n+1,2)
a) Let u=(1,...,1)^T, v=(1,2,...,n)^T and W=span{u,v}. 我們要證的是 W 為 L-invariant, 即 L(W) in W (L(W)包含於 W). 因為 {u,v} 為 W 之 basis, 所以只需證明 L(u),L(v) in W 即可. 而由於 {u,v} 為 W 基底, 換言之, 只需證明 L(u),L(v) 可寫成 u 和 v 的線性組合.
當你算 Qu, Qv 時, 經過整理可以得到
L(u) = Qu = -C(n,2)u + n^2v
L(v) = Qv = -(n(n^2-1)/6)u + nC(n+1,2)v
這個留給你練習, 導不出來我再告訴你
故 a) 得證.
b) rank=2
c) 因為 rank=2, char_T(x) 長得像 (-x)^{n-2}(x-α)(x-β), where α and β 為非零 eigenvalues. 所以只要找出 α 和 β 或者說 (x-α)(x-β) 就得到答案了. 假設 z 為一 eigenvector w.r.t. a non-zero eigenvalue. 則 z in W; otherwise Qz=0, 因為 W 是 L-invariant (by (a)) 而且又是 2-dimentional, 所以其實 W 就是 eigenspaces of α and β 的 span. 假設 Qz=λz. 因為 z in W, 故可假設 z=au+bv, 所以
aQu+bQv = Q(au+bv) = Qz = λz = λ(au+bv) = λau+λbu.
展開 aQu and bQv
aQu = a(-C(n,2)u + n^2v) = -aC(n,2)u + an^2v.
bQv = b(-(n(n^2-1)/6)u + nC(n+1,2)v) = (-bn(n^2-1)/6)u + bnC(n+1,2)v
=> aQu+bQv = (-aC(n,2)-bn(n^2-1)/6)u + (an^2+bnC(n+1,2))v.
Comparing with λau+λbu obtains (注意:這邊是因為 u,v 線性獨立, 見註1)
λa=-aC(n,2)-bn(n^2-1)/6
λb=an^2+bnC(n+1,2)
整理得到
(λ+C(n,2))a = (-n(n^2-1)/6)b
n^2a = (λ-nC(n+1,2))b
=> (λ+C(n,2))(λ-nC(n+1,2)) = -n^3(n^2-1)/6
=> λ^2+(C(n,2)-nC(n+1,2))λ-nC(n,2)C(n+1,2)+n^3(n^2-1)/6 = 0
所以 (x-α)(x-β)
= x^2+(C(n,2)-nC(n+1,2))x-nC(n,2)C(n+1,2)+n^3(n^2-1)/6
= x^2-n(n^2+1)x/2-n^3(n^2-1)/12.
外面乘上 (-x)^{n-2} 就是答案了.
check: 當 n=2 得 x^2-5x-2.
所以應該沒錯.
註1: 為了怕你們觀念不正確, 我解釋一下, 雖然滿簡單的. If {u,v} is linearly indep and a,b,c,d are numbers such that au+bv=cu+dv, then a=c and b=d.
因為移項得到 (a-c)u+(b-d)v=0. 線性獨立定義得知 a-c=0 and b-d=0.
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