定理8-22提到x^H A x是實數就保證A對稱
再看例.30的那條二次式(就是上篇qq22的那題)
6x^2+4xy+9y^2為實數，其A除了解答給的對稱A以外
尚可把對角線的兩個2改1,3，這樣乘開一樣是6x^2+4xy+9y^2
(請注意是+9y^2不是-9y^2，解答寫錯了！)
這樣改過的A就不對稱，但6x^2+4xy+9y^2依然為實數
這樣定理8-22是不是有問題？
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4 則留言:
1. 定理8-22是在講複數中的Hermitian, 不是symmetric, 二者並不一樣
2. 如果你改成實數會變成
x^TAx in R for all x in R^n, then A is symmetric
沒有這樣的定理喔
但是實數不算純虛數，也可以算複數
當 x屬於實數向量 => x屬於複數向量
A屬於實數矩陣 => A屬於複數矩陣
所以例.30中的x與A仍然適用定理8-22
得到其A為Hermitian，但A不為symmetric
所以也不為Hermitian使其矛盾？
定裡8-22所討論的範圍是在複數, 也就是說不管你的矩陣是否為實矩陣, 在你舉的例子當中, 若你的 x 僅取所有的實數來證, 這樣是不夠的, 必須是所有在複數中的x, x^HAx都要是實數才行
其實 6x^2 + 4xy + 9y^2 是在範圍僅侷限在實數時所寫出來的式子(i.e., x^TAx), 並沒有取到bar (i.e., not x^HAx), 所以不太能用這式子來看
謝謝！
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