答案為cde，但我認為只有e
因為x屬於R空間，所以選項裡的集合的元素(屬於F(R)，也是R空間)要線性獨立，須滿足對任意實數屬於F(R)皆能滿足
(若a1(元素1)+a2(元素2)+...+an(元素n)=0，則a1~an皆為0)
c選項：0屬於R，x=0時x^2(in F(R))=0，它的係數不見得是0
d選項：0屬於R，x=0時，x(in F(R))=0，它的係數不見得是0
Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
6 則留言:
可是如果這樣說, 那x與x^2不就也線性相依了, 取x = 0, 2(x) + 3(x^2) = 0也沒錯, 您想想那裡出問題呢?
你可能沒把函數空間或多項式空間完全弄懂
例如說要用定義證明x與xsinx為LI
假設a(x) + b(xsinx) = 0
這個式子表示對所有x in R皆使得上式為0
因此我們可以取x為某些值代入
1. 取x = pi代入得a(pi) = 0,因此a = 0
2. 再取x = pi/2代入得
a(pi/2) + b(pi/2) = 0, 因為a = 0,
所以b = 0
以上就是用定義證明的方法, 不過我們上課是用Wronskian去證明類似這種題目
課本3-6頁，函數空間裡D→F為一函數，本題是R→R，F(R)蒐集所有這樣的函數f，我把選項當作多項式空間來算結果與答案相同，但是是當作多項式空間來算這樣跳的我不太能理解，是否有這樣的定義？多項式空間很明確是針對f(x)裡x幂次項的係數，但是觀看此題，也沒有說明是針對某特定變數取其幂次項的係數，僅能猜測若有此一特定變數會屬於R，既然變數遍佈R，判斷時只能視同常數，用常數判斷有獨立的話，則之後變數要取什麼都成立。
我大概了解您的意思了, 你可能把題目所有的x都視為純量來看, 也就是說如果寫成
f(x) = x, g(x) = x sinx, 則{f, g}是否為LI, 這樣子可能比較容易理解
另外, 當我們講多項式時, x的次方都會是非負整數, 但函數就不一定會, 所以無法用比較係數的方法去做
ps: 本題是今年台大電機一樣的題目, 考試的時候大都會類似這樣寫,下次再看到時要習慣平常函數的寫法了
謝謝老師！
張貼留言