"逼偪冰"說的沒錯 一個是向量加法 +: VxV → V eg. V=R^2, (1,0)+(0,1)=(1,1) 一個是純量積 *: FxV → V eg. V=R^2, 2*(1,0)=(2,0)
一般來說在線代裡這個 F 是 R or C 比如： M_nxn(R) with addition over R(佈於 R 的nxn實矩陣with加法)意思是說當我們考慮一個矩陣和一個矩陣相加以及"一個東西"乘一個矩陣時, 其中這個"東西"屬於 "F=R"，也就是乘的是一個實數, 同樣地, over C 就是乘一個複數.
記得黃老師會給一個例子 (1)R^n over R is a vector space with dim n (2)C^n over C is a v.s. with dim n (3)R^n over C is not a v.s. (4)C^n over R is a v.s. with dim 2n
14 則留言:
這兩個例子是在課本(第二版)第三章向量空間找到的
(次方打不出來用^代替)以下R皆為向量空間
R^n 佈於 R
(課本3-9頁 例2 (1))
R^n 不包含於 R^n+1
(課本3-7頁 注意事項3 (4))
不曉得這樣舉例有錯嗎??
因為既然佈於卻又不包含覺得怪怪的
所以才上來提問
請指教^^
向量空間的定義中，要先定義兩種運算
1. + : V x V
2. * : F x V
因此，佈於的意義就在於那個純量積所指的純量，所以如果可以定義出可以用的運算，那即使是毫不相關的兩個集合也可能成為一個向量空間。
不保證上面說的是對的(逃)
"逼偪冰"說的沒錯
一個是向量加法 +: VxV → V
eg. V=R^2, (1,0)+(0,1)=(1,1)
一個是純量積 *: FxV → V
eg. V=R^2, 2*(1,0)=(2,0)
一般來說在線代裡這個 F 是 R or C 比如：
M_nxn(R) with addition over R(佈於 R 的nxn實矩陣with加法)意思是說當我們考慮一個矩陣和一個矩陣相加以及"一個東西"乘一個矩陣時, 其中這個"東西"屬於 "F=R"，也就是乘的是一個實數, 同樣地, over C 就是乘一個複數.
記得黃老師會給一個例子
(1)R^n over R
is a vector space with dim n
(2)C^n over C
is a v.s. with dim n
(3)R^n over C
is not a v.s.
(4)C^n over R
is a v.s. with dim 2n
(3)V=R, F=C
+: (1,2)+(2,1)=(3,3)
*: i(2,3)=(2i,3i) 這顯然不落在 V=R
所以不是 vector space.
這四個例子應該可以幫助了解"佈於"的意思
至於包含，純粹就只是大小的關係.
比如: R 包含 Z (Z 包含於 R), R 包含 Z(Z 包含於 R), Z 包含 N (N 包含於 R)..etc
所以正常來說 R^2 包含 R (R 包含於 R^2), R 不包含 R^2 (R^2 不包含於 R^2).
恩 說的沒錯
但是課本(第二版 3-7 注意事項3 (4))上
R^n為向量空間，R^n+1亦為向量空間，但
R^n不為R^n+1的子空間，因為R^n不包含於
R^n+1
這又是什麼意思??
難道 R 不包含於 R^2 嗎??
黃老師 我是方凱
不好意思 因為在試怎麼改張貼人姓名 以為文章刪了就會沒了 所以不小心刪了這麼多 sorry
所以我剛會說"一般來說"
eg. V=R^3={(x,y,z)| x,y,z in R }
W_1 = {(0,0,z)|z in R}
W_2 = {(x,y,0)|x,y in R}
顯然 W_1 是個 R, W_2 是個 R^2 可是 W_1 並不包含於 W_2.
我這章剛學 對空間不是很熟 說的可能有錯
不過
W_1 = {(0,0,z)|z in R}
W_2 = {(x,y,0)|x,y in R}
W_1 跟 W_2 他們所取的集合不都是(x,y,z)
所以不都是R^3才對嗎??
W_1 和 W_2 都是 R^3 裡的子空間.
W_1 在 R^3 裡是 z 軸
W_2 在 R^3 裡是 x-y 平面
所以它們的交集只有 (0,0,0), (當然零元素一定會落在交集, 因為向量空間一定要含零元素), 但沒有包含關係, 你可以畫個圖幫助你了解 (0,0,z) 和 (x,y,0).
如果你是新生, 等我教到第三章後面一點點會跟大家談牛跟馬的故事, R^2不是R^3的子集, 因為集合的成員不同, 雖然二個都是向量空間, 但不是子空間的關係, R^2的成員都是(a,b), R^3的成員都是(a, b, c), 元素型態完全不同, 不可能成為子集
ps. 方凱, 好久不見了, 謝謝你的幫忙喔
老師 不必客氣..
張貼留言