助教好,
想請問這題,
Verify that (Z*p, X ) is cyclic for the primes p = 7 and 11.
Ans:
Z *7 = <3> = <5>;
Z *11 = <2> = <6> = <7> = <8>
請問老師上課教的那題是 (Zn,+),但是那個公式好像換到乘不能用了,
請問這題是有其他公式還是只能用暴力法呢?謝謝!.
Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
3 則留言:
這裡的Z*p指的是Zp中所有非 0 的元素
i.e., Z*p = {1, 2, ..., p-1}
這個用暴力法找identity可以很有效率
要檢查 a 是不是generator
根據Lagrange's theorem,
就只要檢查a^e是否要到e = p-1時才第一次變成單位元素
其中 e 為就從p-1最小的因數開始試
比方說在Z*11, 10的因數有1,2,5,10
(1) 2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^5 = 10 ≠ 1,
所以 2 就會是generator
(2) 3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^5 = 1 已經變成單位元素
那 3 就不是generator
Note: 題目如果只請你驗證它是循環群,
那就只要找出一個generator即可
而其實若已找出一個,
那要找出所有的generator就很容易,
因為有個定理是, 假設 o(a) = p-1,
o(a^x) = p-1 <=> gcd(x,p-1) = 1
這證明得花些篇幅談, 我就先不打了
p.s. Bill, 要問不是黃老師書上的內容OK, 但因為數學符號每本書用的都不太一樣, 所以下次請你記得把符號定義寫出來, 否則我都得花些時間推理猜謎才能回覆... 麻煩你囉
謝謝助教,又救了我一題
我下次會記得把定義寫出來,
不好意思讓你多花時間猜謎
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