1.
然後(b)我是模仿老師課本中的做法，不過發現符號有點不一樣
Sn = A(x) => A(x)/(1-x)
= (a0+a1x+a2x^2...)(1+x+x^2+...)
= a0 + (a0+a1)x + (a0+a1+a2)x^2 + ...
= ∑ (a0+a1+...+an)x^n = ∑ (t1 + t2 + ... +tn)
到這裡之後，因為老師書上的 Sn = a0 + a1 + a2 + ...
A(x) = 這邊的 Sn
所以不知道怎麼做下去了，請助教指點!
這題我想嘗試不直接求 det(H-xI)的方式找 H 的 eigenvalue
找習題(5-214)的類題做法
所以先列運算到
[1 2 3 4]
[0 -4 -8 -12]
[0 -8 -16 -24]
[0 -12 -24 -36]
所以解出 nullity(H-0I) = n - rank(H) = 2
0 為 H 的 eigenvalue 且 am(0) >= 2
令另外兩個eigenvalue 為 a 和 b
則 PH(X) = X^2(a-X)(b-X) = X^4 - (a+b)X^3 + abX^2
tr(H) = 入1 + 入2 + 入3 + 入4 = 0 + 0 + a + b = 34
H^3 - αH^2-βH-γI = 0
=> f(x) = X^3-αX^2-βX-γ
=> Xf(x) = X^4-αX^3-βX^2-γX
所以 α = (a+b) = 34, γ = 0 (因為沒有 X項)
到了這邊就卡住了，習題的解法是用 T(v) = Ax 的方式去找 ab
那樣還得去算 H 與 W的基底的結果，不知道有沒有別的方法可以解這一題呢?
8 則留言:
1. (a) S1 = 1,
Sn = Sn-1 + tn = n-1 + n(n+1)/2, for all n>1
(b) 利用我們平常解非齊次遞迴的方法解
Sn - Sn-1 = n^2/2 + n/2
可得 Sn = n/3 + n^2/2 + n^3/6
因此, a0 + a1 + a2 + a3 +...
= 0 + 1/3 + 1/2 + 1/6 = 1
2. 除了習題5-214的解法, 最近老師和我習慣這樣解:
令 x = [1 1 1 1]^T, y = [1 2 3 4]^T,
z = [0 4 8 12]^T, 則 H = xy^T + zx^T = AB
其中A = [x z], B = [y^T x^T]^T
因為AB與BA具相同的nonzero eigenvalues
先計算BA(如下)的特徵多項式
10 80
4 24
可得det(BA-xI) = x^2 - 34x - 80
因此BA具兩個非零的eigenvalue a, b
接下來如你所推的, AB還具有eigenvalue 0,
且am(0) = gm(0) = 2
所以 A 的minimal polynomial為 x(x-a)(x-b)
=> 0 = H(H-aI)(H-bI) = H^3 - 34H^2 - 80H
=> H^3 = 34H^2 + 80H
類似這種將矩陣拆解成rank 1矩陣相乘的概念
題庫班等上到第五章時老師會講到(99年5x5那題)
我講義裡也有放今年台大這題
到時我也會利用這題再講解一次(上面離散那題也會講)
謝謝助教!!!
(a)請問助教為何：Sn=Sn-1+tn=n-1+tn，Sn-1怎麼會等於n-1呢？
(b)題目似乎沒提到Sn的定義與(a)相同？這題我看很久也不知道Sn的定義是什麼，請問助教怎麼判斷(b)要用(a)定義的Sn呢？
針對助教的1-(b)我也有個小疑惑是
助教的解法好像是因為Sn的齊次解係數剛好是a0, a1, a2 和 a3
不過題目中是無窮數列，這樣 +a4 ~ oo 是不用考慮的嗎?
再麻煩助教了
V大您好：
其實助教有考慮a4+...無限喔，只是這題剛好都是0。a0,a1,a2,a3分別是0，1/3，1/2，1/6
月戀星辰 :
上面少打一個S, 我只是想把 t 的值代入而已
所以n-1應該是S_(n-1)
i.e., S_n = S_(n-1) + tn = S_(n-1) + n(n+1)/2
Veck:
有考慮, 只不過就像上面同學說的, 其他項都是0
台大的離散有時候喜歡換個方式問問題,
順便測驗一下同學們的閱讀及思考能力
喔!了解了
謝謝助教和月戀大!!!
我忘記提醒同學離散這題若用求和算子也可以做
等等再打一篇
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