2. 這是二次式在微積分的應用之一 藉由判定矩陣是否為正定來決定一個stationary point 為local maximum, local minimum或saddle point
假設F(x)為可微的real-valued function, 且 F 在一點 c 的derivative為zero 則稱 c 為stationary point 舉個簡單的例子 若f(x,y) = 2x^2 - 4xy + 5y^2 令 A = 2 -2 -2 5 則 A 為nonsingular, 因此 f 具有唯一的stationary point (0,0) 因為 A 為正定, 所以 f 在(0,0)具有極小值 以上的概念, 簡單的說就是 把作一次偏微的係數矩陣 H 寫下來, 令 Hx=0 (這裡的H和上面的A不太一樣, 但意思差不多) 可找出stationary point 然後再根據正定的定義, 觀察在其他點斜率的變化
利用泰勒展開式再進一步作推廣 可整理出判定的方法, 大致就如這題所寫 算出書上寫的那個矩陣 H 之後 (以stationary point代入) 假設 H 為可逆, 則 (1) 若 H 為正定, 則該點為local minimum (2) 若 H 為負定, 則該點為local maximum (2) 若 H 為indifinite, 則該點為saddle point
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1. 齊次二階常係數微分方程
ax'' + bx' + cx = 0, 其中a, b, c: constant
特徵多項式為 aλ^2 + bλ + c = 0
若具有共軛複根p+qi, p-qi
則x(t) = e^(pt) [c1*cos(qt) + c2*sin(qt)]
以此題的 x'' = -9x 為例
特徵多項式為λ^2 + 9 = 0
λ = 3i, -3i為共軛複根
所以 x = (e^0)(c1*cos(3t) + c2*sin(3t))
想了解其他case, 請你再自行翻翻工數課本囉
2. 這是二次式在微積分的應用之一
藉由判定矩陣是否為正定來決定一個stationary point
為local maximum, local minimum或saddle point
假設F(x)為可微的real-valued function,
且 F 在一點 c 的derivative為zero
則稱 c 為stationary point
舉個簡單的例子
若f(x,y) = 2x^2 - 4xy + 5y^2
令 A =
2 -2
-2 5
則 A 為nonsingular,
因此 f 具有唯一的stationary point (0,0)
因為 A 為正定, 所以 f 在(0,0)具有極小值
以上的概念, 簡單的說就是
把作一次偏微的係數矩陣 H 寫下來, 令 Hx=0
(這裡的H和上面的A不太一樣, 但意思差不多)
可找出stationary point
然後再根據正定的定義, 觀察在其他點斜率的變化
利用泰勒展開式再進一步作推廣
可整理出判定的方法, 大致就如這題所寫
算出書上寫的那個矩陣 H 之後 (以stationary point代入)
假設 H 為可逆, 則
(1) 若 H 為正定, 則該點為local minimum
(2) 若 H 為負定, 則該點為local maximum
(2) 若 H 為indifinite, 則該點為saddle point
以上看不懂無所謂, 不用在意它
這題算是課外的範圍, 一般不會出現這種題目
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