在下有幾個觀念上的問題想請教
1. A~D (D為對角矩陣)
則A的Rank一定等於A之非零Eigenvalue的個數，對嗎？
2. 若A不可對角化
則A的Rank一定不等於A之非零Eigenvalue的個數，對嗎？
3. 課本5-167第21題：
Similar matrices always have the same eigenvectors. ---> False
這樣的話，是不是代表下圖的狀況絕對不可能發生呢？
謝謝~：D
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Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
6 則留言:
您好：
1.因為A~D，A、D具相同的eigenvalue與相同的rank，所以：
A的rank=D的rank=D的非零eigenvalue數=A的非零eigenvalue數。所以您是對的。
2.這是不對的，例如取A=[(1 0)^T (1 1)^T]，則A不可對角化且rank(A)=2=A之非零eigenvalue數。此時有考慮重數。
3.題目寫的是「always」，意思是考慮for all都要對，問題不在於您舉的例子是否會發生，而在於只要存在一個反例，此敘述就是錯的(題目是for all)。
反例屬於隨便找的階段，例如A=[(1,0)^T (3,2)^T]，則A~D=[(1,0)^T (0,2)^T]，A對應於eigenvalue 2 的eigenvector為(3,1)，而D對應於eigenvalue 2 的eigenvector為(0,1)，兩者並不相同。
以上淺見..
謝謝月大的詳細解說!!!
不過關於3. 在下還有個小小的問題想請教
如同在下圖片上舉的狀況一般，有沒有可能...
A與B相似，則eigenvalues相同的情況下，
eigenvectors有沒有可能剛好也相同呢？
或是這種狀況並不存在？
您好 考慮重數 如果兩矩陣皆可對角化 若特徵根特徵向量相同 則兩矩陣必相等
您好：
假設A的eigenvalue對應的eigenvector與B中相同的eigenvalue對應的eigenvector相同，則A=B，以下：
Av=cv(c:eigenvalue)
Bv=cv
=>Av=Bv => (A-B)v=0,A=B
假設A的eigenvalue對應的eigenvector與B中不同的eigenvalue對應的eigenvector相同，claim for all A~B,A!=B =>存在v使得以下成立：
Av=cv(c:eigenvalue)
Bv=dv(d:eigenvalue)
因為A~B，所以存在可逆矩陣P使得 P^-1AP=B或AP=PB,Bv=P^-1APv=dv=>A(Pv)=d(Pv)
因此，Pv為A對應於eigenvalue d之eigenvector,已知c!=d，所以{Pv,v}:LI，
這裡證的是存在，所以只要找到例子即可，僅需取P!=aI，(非單位矩陣的倍數)，即可讓{Pv,v}線性獨立。
所以我認為您說的是有可能的。
以上淺見..
如果只要找到一個相同的eigenvector就好
只要找滿足AB = BA的矩陣即可
為什麼呢? 同學可以回想看看
老師在上到同步對角化時
應該有稍微提過這個觀念
比方說取A = I_2, B =
1 0
1 1
則A, B皆具有eigenvector [0 1]^t
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