Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
我覺得這題應該不算基本題, 因為時間緊迫, 如果你的第八章還太淺, 那還是先把你懂的部分讀通比較重要, 並且二次式的部分建議你先把及主軸等基本題做熟, 有時間的話再來看這題假設(x,y)為單位圓上的向量令 T(x,y) = A[x y]^t = [u v]^tfor some A =a bc d這裡我們要證的事情就是利用座標轉換來證實所有的(u,v)會形成一中心在原點的橢圓, 也就是說, 在某個座標系統之下, 我們可以寫出T(S)的橢圓方程式因為 [x y]^t = A^-1 [u v]^t根據題意, x^2+y^2=1所以 (du-bv)^2 + (-cu+av)^2 = (ad-bc)^2再整理一下可得(c^2+d^2)u^2 -2(ac+bd)uv + (a^2+b^2)v^2 = (ad-bc)^2根據主軸定理, 左式可化成 X^t B X = λ1y1^2+λ2y2^2,其中 X=[u v]^t, 至於 B 你應該寫得出來並且推導一下可得右式等於 det(B) = λ1*λ2整理出來就會得到λ1 y1^2+λ2 y2^2 = λ1*λ2(其中λ1>0, λ2>0)=> y1^2/λ2 + y2^2/λ1 = 1
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我覺得這題應該不算基本題, 因為時間緊迫, 如果你的第八章還太淺, 那還是先把你懂的部分讀通比較重要, 並且二次式的部分建議你先把及主軸等基本題做熟, 有時間的話再來看這題
假設(x,y)為單位圓上的向量
令 T(x,y) = A[x y]^t = [u v]^t
for some A =
a b
c d
這裡我們要證的事情就是利用座標轉換來證實所有的(u,v)會形成一中心在原點的橢圓, 也就是說, 在某個座標系統之下, 我們可以寫出T(S)的橢圓方程式
因為 [x y]^t = A^-1 [u v]^t
根據題意, x^2+y^2=1
所以 (du-bv)^2 + (-cu+av)^2 = (ad-bc)^2
再整理一下可得
(c^2+d^2)u^2 -2(ac+bd)uv + (a^2+b^2)v^2 = (ad-bc)^2
根據主軸定理, 左式可化成 X^t B X = λ1y1^2+λ2y2^2,
其中 X=[u v]^t, 至於 B 你應該寫得出來
並且推導一下可得右式等於 det(B) = λ1*λ2
整理出來就會得到λ1 y1^2+λ2 y2^2 = λ1*λ2
(其中λ1>0, λ2>0)
=> y1^2/λ2 + y2^2/λ1 = 1
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