Q1. A與A^T 是否具有相同的eigenvector?
A. No
(想問反例是怎麼找的??有甚麼技巧嗎)
Q2. A具n個相異的eigenvalue => A可對角化
回去是不對的,老師是舉"單位矩陣"
所以說單位矩陣可做對角化,且其eigenvalue都是1,
再來我想算單位矩陣的eigenvector
ker(A - 入*I) = ker(A - 1*I) = ker(I - I) = ker( 零矩陣 ) = span{空集合}.
這樣單位矩陣不就沒有n個相異的eigenvecter,那這樣單位矩陣還可以做對角化了??
(還是他們身就不用做對角化了?因為本身就已經是對角矩陣)
不知上述邏輯是錯哪邊
Q3. 在正第三點, v(0) = ker(T),v(1) = Im(T)的部分
v(0) = ker(T)我是看得懂的,但在證V(1) = Im(T)時,我真的不太懂他哪裡互相包含
是否能稍微解釋一下
Q4. 證明完A,B:n*n,則AB與BA有相同的eigenvalues後
老師加上一個Note說道
Note: A:m*n, B:n*m,則AB與BA具相同之nonzero eigenvalues
那是不是在A和B不為的方陣的情況下
AB 或是 BA有可能有一個是有0的eigenvalue呢?
甚至AB和BA其實也是會有機會是有0的eigenvalue呢?
以上,有點多,麻煩助教跟大家了,謝謝
1 則留言:
1.
(P^-1)AP=D
A=PD(P^-1) //P is eigenvector
A^T=(PD(P^-1))^T //transpose
=>A^T=(P^-1)^T D P^T
他的eigenvector為原A的eigenvector
取inverse再transpose
2.ker(0矩陣)={e1,e2...en}
3.X屬於A=>X屬與B
=>A屬於B
V(1)={V|T(V)=V}
V(1)必可被 IM(T)生成//trivial
V(1)屬於IM(T)
另外一邊如果你不懂 換個寫法
for all x屬於IM(T)
因為 T^2=T
T(T(V))=T(V)
=>T(V)=V //推到這邊就可以用條件了
=>x屬於V(1)
4.if AB不為方陣
AB=BA
AB的eigenvalue 1 1 2 0 0 0 0
BA............ 1 1 2 0
這就是老師的意思
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