題目1(ch5-2範例10)
在這題中, 因為f(n)=2^n且2為齊次解的特徵根
根據課本定理5-3的caseB, 故令an的特解=dn2^n,
但在題目2中(ch5-2範例13)
當f(n)=2^n-n時且齊次解的特徵根為1,2
為什麼an的特解要考慮1呢? 解答中的bn特解為什麼是(d1n+d2n^2)+sn2^n呢?
為何不是n(d1+d2n)2^n=(d1n+d2n^2)n2^n呢??? @@
特解中的n是因為特徵根出現2一次而乘的, 還是像題目1中是因為1出現一次而乘呢?
對應課本中定理5-3的說法
我的想法是, 考慮到2為an的特徵根且2出現一次=>n^r,r=1
f(n)中出現-n => 多項式令為(d1+d2n)
f(n)中有2^n => 2^n
三項合起來為 n(d1+d2n)2^n
很抱歉寫了那麼長解釋,
先感謝回答了
5 則留言:
這時要分開討論：
特徵根是 1 , 2
-n：
n(d1+d2*n)，其中前面的n是因為特徵根中1的重數是一、(d1+d2*n)是因為-n是n的一次方。
2^n：
sn*2^n、前面s是因為 1*2^n、1=n的0次方、接著sn的n是因為特徵根2的重數為一、最後2^n次是因為指數型的關係。
最後兩者再加起來就是特解。
以上淺見..
更正第五行：-n 含 n的一次方。
加入第六行：這裡的s類似前述d。
wow! 真是謝謝你的回答
不過想接著請問,
為何要分開討論呢 XDDD
f(n)中的指數型都要分開來看, 看清楚他們的係數, 分別令好他們的特解以後再把他們都加起來, 還有就是定理中的case(A)你可以把它想成是case(B)的特例, 因為那其實就是當a=1時的情形
以範例13為例, -n+2^n 可看成 (-n)(1^n)+(2^n):
(1) 先看1^n的係數, 因為係數裡的n有到1次方, 且1為一個特徵根, 所以令到一次方以後要再多加一項, 所以就是 (d0 + d1 n + d2 n^2)(1^n), 而因為d0的作用就相當於是在齊次解裡的c0, 所以在此可省略
(2) 接著再看 2^n 的係數, 因為只到 n^0 且 2 為一個特徵根, 所以只要令到n^1就好了, 所以就是 (sn)(2^n)
上述兩個case分別令完以後再加起來就可以解了, 書上習題5-49~51都是此範例的類似題型, 你可以再練習一下這幾題, 之後應該就會比較熟悉這類的問題了
我懂了!!!
謝謝助教^^
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