[以下皆為線代第4版課本]
Q1:(P5-53 EX14)想問解答中,第一行跟第七行 為何布於C都能確定會有一個特徵
根跟向量,還有第6行開始的證明就搞不懂哩?不是已經證W為T-invariant
subspace,那ST跟TS皆會含有此空間阿,為何會有第6行開始的推導?
Q2:(P5-91 EX12)最後一行的如果取det(C-3I)=0就直接為0了,為何可直接單獨取
出裡面那4個元素作det,是否可直接從rank=1所以採a=-5t,b=rt ,for all
t!=0 ?
Q3:(P7-22 上面第六行的(d))不懂為啥一行就能確定他為內積空間,這行應該是只
有共軛交換性吧?!還是有其他方法能快速判定哩@@?
Q4:(P7-25 EX7 (d)選項)為啥前面為啥不同倍數能正交?...慢慢算後看解答才
知道能這樣..
Q5:(P8-8)定理8-7的第3行到第4行,如果是在R的話稍微還能想通,但在C時,應該還
有取conjugate的問題吧?!感覺怪怪的而且定理也沒說是hermitian..
Q6:(P8-16 最上面的(3))想問一下如果我從normal來討論的話,是不是必須先說
A*A=AA*來推導下去,而若採hermitian的話直接從第5行那著手轉換在利用特
徵根皆為R,是指這兩種想法皆可嗎@@?
Q7:(P8-77例題2)這題小弟我先求出V(1),V(2)找出答案中的U,作對角化U^hAU=D
,可是看解答中的P8-77最上面那行,怎像是AU先乘開,到第7行時跑出W但後面還
多出一個U^-1,正常來說應該是乘開後會變成我最先求出的對角矩陣D吧@@卡在
那詭異的W...
Q8:(P8-103 例41)知道找出V(1)跟V(6)皆為主軸,可是不知道怎判斷圖中X'跟Y'
到底是哪一個?
不好意思~問題有點多,麻煩助教跟各位大大能幫忙解答@@謝謝
7 則留言:
1.a
因為1<=gm(λ)<=am(λ)=n
1.b
w為T-invariant並沒有保證T和S有一樣的eigenvector
所以一開始我們先假設 w 就是s的eigenvector
然後證明了w就是就是T的的不變子空間
最後用上面寫的那個1.a
知道最少有一個eigenvector
這定理神奇的地方就是
你證明不變子空間 居然就證出了他們具有相同的eigenvector
2.不了解妳想表達意思
我語言能力頗差一一"
我只能告訴你if A為3*3矩陣
rank(A)=1 or 2 =>det(A)=0
3.這就是矩陣版內積空間的定義
4.兩向量積分時 我們會把常數抓出來
當然對值的判斷會有影響
可是如果本來就是0那就一定是0了
反之亦然
5.你這樣想看看
det(A)=a+bi=0
取bar一樣是0
6.不太確定你意思
但是Hermitian=>Normal 是OK的
也就是說hermitian必具有normal
看你怎樣推比較方便
以要不要再證normal用hermitian去證就好
7.原本我也覺得有些詭異
但後來發現其實只是不熟罷了
A[u1, u2]=[u1,7u1+2u2]
AU=UW
(U^-1)AV=W
8.那個矩陣寫法 是逆時針選轉 所以你只要判斷角度有沒有變號就好 這就是三角函數的部分了
2.我大蓋懂你意思了
他只是寫矩陣相依而已
我想意思是一樣的
1.哦~了解@@小弟我在試看看
2.不好意思@@
大大你那個那個矩陣相依不太懂耶
是指可以把nonsingular行列去掉嗎?!
3.哦@@想說沒驗證三項定理怎能直接看出..
4.所以這題是因他的內積定義為積分關係
才有此性質吧~像standard inner product就不能以此討論哩吧@@請問小弟這想法有錯嗎?
5.哦..原來是因為後面已經等於0的關係阿
想太多哩我..所以正常運算上
det(A^H)=det(A)在
布於C上也是不一定成立的吧@@?
6.了哩~只是想說後面應該就是那段差異上的
想法轉換應該是互通的@@
7.了解
8.知道是轉換矩陣,可是在範例圖中的x'軸是V(6)而y'軸是V(1)在這方面還是不太清楚耶...(因為做到P8-114 例題1的C時卡住,所以想問清楚)
謝謝AI大的幫忙@@
1. 記得前不久有回過這一題, 剛查了一下發現原來就是你問的, 只是當時你問的是矩陣版的(線代第三版), 而這裡只是改成函數版而已, 其餘沒甚麼不同, 你那時不是有搞懂了? http://zjhwang.blogspot.com/2011/09/blog-post.html
這個定理算是要做同步對角化的第一步, 我再說明一下他大概的意思好了, 假設 W 為 S 的eigenspace, 這裡前半段是在證明, W 會是 T-invariant subspace, 也就是說, 若 u 為 S 的 eigenvector, 則 T(u) 還是會是 S 的 eigenvector (不是 T 的喔, 不要搞混了)
有了這個結果後, 從第六行開始我們才可以定義一個新的函數叫T_W, 這個T_W就是在定義域和對應域縮小到 W 的情況下所定義出來的一個新的函數, 此函數的行為與 T 同, 那麼因為 T_W 必定具有至少一個 eigenvector v (這是因為當佈於C, 特徵多項式必定可split, 所以eigenvalur存在), i.e., T(v)=cv, for some constant c, 且根據 T_W 的定義這個 v 是取自於 W, 這樣就說明了這個 v 不僅是 S 的eigenvector且同時也是 T 的eigenvector
2. 觀察C-3I第三列為零, 所以rank最多就只會有2, 另外, 觀察右上方的那個2x2的矩陣的rank至少是1, 所以只要確保那個子矩陣不可逆, 即可保證該子矩陣的rank為1, 那C-3I的rank也就會是1
3. 這的確如你所說每個性質都要證才可以說明它是內積
4. 從定義來看,
If <u,v>≠0, then <au,bv>≠0, where a,b≠0
5. det(A^H)=bar(det(A))
6. 用Hermitian的定義直接證, 這在p8-16的(3)有寫給你看了, 若要用normal來證, 最好把p8-14定理8-8的證明也寫出來
7. 這題做一般的么正對角化就可以了, 不過因為他 W 只要求到三角矩陣, 不用到對角矩陣, 所以老師就偷懶沒算V(2), 他v2取的不是eigenvector, 而是隨便一個與v1垂直且長度為1的向量, 然後因為他又不想做矩陣乘法(U^-1)AU來算出W, 所以就利用基底轉換的觀念來求出在{v1,v2}這組基底之下的矩陣表示法, 大家也可以趁著機會仔細想想看這裡面老師所用到的觀念, 不過若是自己在解, 建議觀念要很熟才可以這樣做, 否則很容易出錯
8. 就看eigenvector在原座標上的位置, 譬如說V(1)=span{(2,1)}, 所以(2,1)所在的那一條線y'就是V(1)
助教解釋的好詳細:)
關於7部分有點小小疑問
可以求diagonal矩陣
是因為diagonal矩陣⊆triangular矩陣嗎?
雖然說是這樣
可是如果是求出diagonal矩陣之後
要怎麼變成右上不等於0的上三角
完全沒頭緒
只有想到老師的這個方法
可是這樣就完全沒做對角化的必要了orz
是的, 是因為對角矩陣也算是三角矩陣的一種, 事實上在第八章有一個叫Schur's定理, 那個就是專門在做三角化的, 細節可參考p8-63, p8-65
感謝助教耐心的指導~~
終於弄懂啦~~
沒想到換個矩陣真的就不會哩...
原來之前的矩陣B映射那的特徵跟又搞混哩
看到括號那行才知道= =
最後謝謝助教跟大大的幫忙~!
張貼留言