Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
關於Jordan form的計算舉個例子例如Ker(T-λI)={[100]}Ker(T-λI)^2={100][010][101]}把重複的扣掉後剩下的看你要選誰都可至於dot diagram只是我們習慣這樣排你高興也可以從左到右但是記得順序要改變就是了
我了解。但請問為什麼是這樣取呢？
1. Jordan form主要想告訴我們的是, 如果我們只將視野侷限在eigenspace, 也就是Ker(T-λI), 時常會產生無法找到n個linearly independent的eigenvector來形成一個標準的form, 但假如我們將eigenspace的定義推廣到generalized eigenspace, 我們就一定可以找得到n個線性獨立的向量來形成這樣的form, 而組成basis的方法就是由小空間的basis取聯集即可構成整個大空間的basis, 這裡的小空間指的就是一個generalized eigenspaces2. 那這些generalized eigenspace是怎麼來的呢? 這就是循環分解定理想要談的, 還是一樣, 一個generalized eigenspace是由若干個小小空間的basis取聯集而來的, 這些小小空間指的就是cyclic subspaces3. 至於這些小小空間cyclic subspace又是怎麼來的呢? 在一個dot diagram裡面的一個橫排, 所代表的就是一個cyclic subspace, 因為是cyclic subspace, 所以此時只要找出點圖最左邊的那r個點v1,...,vr, 後面的vectors就都被決定了, 至於那r個點要怎麼找, 要靠的就是Kernel chain的觀念Kernel chain所述說的是, Ker((T-λI)^k-1)⊆Ker((T-λI)^k), for all k>0, 當k越大, 整個Kernel space就會越變越大直到成為最大nilpotent區, 而點圖就是我們用來描述這個維度增長關係的表示方法, 建構出此圖後, 只要數最右邊的 i 個行總共有幾個點, 我們就可以知道Ker((T-λI)^i)的維度會是多少; 要知道每一個cyclic subspace的維度會是多少, 一樣就數該列有幾個點就好了在找v1,...,vr時, 很重要的一點就是要保持線性獨立, 所以對於點圖中的任一點來說, 假設該點是在右邊數來第 i 行, 那根據維度的增長, 該點所代表的向量就必須是屬於Ker((A-λI)^i)而不屬於Ker((A-λI)^(i-1)), 這樣對Kernel chain的擴增才會有幫助所以說雖然不知道你問的是哪一題, 但我想你可能把問題打錯了, 你想問的"書上寫：v1=Ker(T-λI)-Ker(T-λI)^2"應該要改成 "v1∈Ker(T-λI)^2-Ker(T-λI)"用上述的這些觀念回去看看書上的例子, 再回想一下老師說的, 希望可以讓你對做Jordan form的過程更加了解囉
喔~讓我把它串起來：1.因為在Ker(T-λI)中找不到n個LI的向量、所以根據Kernel chain把空間擴大。因為取v為Ker((T-λI)^k-Ker(T-λI)^(k-1))時，根據獨立擴張定理可確定此向量v和之前取到的向量線性獨立、由此手法一直取下去即可得到V之basis。2.如果點圖畫出來不只1行、就代表在Ker((T-λI)找不到n個LI的向量、所以不可對角化、但若只有一行就可對角化。(n個LI都存在於Ker((T-λI))3.gm(λ)就是最右邊的nullity(T-λI)、am(λ)就是總共的點數、gm(λ)不等於am(λ)就不可對角化就是在說點圖中若不只一行就不可對角化。4.不過我還是不了解為什麼V=Cv1(T)、Cv2(T)、....的直和、不過書上沒證明就只好作罷。5.是否是因為Ker((T-λI)^k)必定包含Ker((T-λI)^(k-1))、所以極小多項式就取到Ker((T-λI)^k)便可保證A帶入是0呢？以上麻煩助教了!
1. 循環分解那個證明寫起來會很繁瑣, 所以老師才沒把它寫進來, 你真的很想知道的話google一下其實就可以查得到, 或去圖書館借一些有寫到canonical form的原文書來讀也可以2. 觀念大致理解上理解的差不多了, 極小多項式的部分, 比較重要的部分就是, 次方數是多少要看的是每個點圖中的第一列有幾個點, 如果小於第一列的點數, 乘出來的函數對某些向量作用就不會是零, 細節的部分書上有寫
了解了。感謝助教的解答
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關於Jordan form的計算
舉個例子
例如
Ker(T-λI)={[100]}
Ker(T-λI)^2={100][010][101]}
把重複的扣掉後
剩下的看你要選誰都可
至於dot diagram只是我們習慣這樣排
你高興也可以從左到右
但是記得順序要改變就是了
我了解。但請問為什麼是這樣取呢？
1. Jordan form主要想告訴我們的是, 如果我們只將視野侷限在eigenspace, 也就是Ker(T-λI), 時常會產生無法找到n個linearly independent的eigenvector來形成一個標準的form, 但假如我們將eigenspace的定義推廣到generalized eigenspace, 我們就一定可以找得到n個線性獨立的向量來形成這樣的form, 而組成basis的方法就是由小空間的basis取聯集即可構成整個大空間的basis, 這裡的小空間指的就是一個generalized eigenspaces
2. 那這些generalized eigenspace是怎麼來的呢? 這就是循環分解定理想要談的, 還是一樣, 一個generalized eigenspace是由若干個小小空間的basis取聯集而來的, 這些小小空間指的就是cyclic subspaces
3. 至於這些小小空間cyclic subspace又是怎麼來的呢? 在一個dot diagram裡面的一個橫排, 所代表的就是一個cyclic subspace, 因為是cyclic subspace, 所以此時只要找出點圖最左邊的那r個點v1,...,vr, 後面的vectors就都被決定了, 至於那r個點要怎麼找, 要靠的就是Kernel chain的觀念
Kernel chain所述說的是, Ker((T-λI)^k-1)⊆Ker((T-λI)^k), for all k>0, 當k越大, 整個Kernel space就會越變越大直到成為最大nilpotent區, 而點圖就是我們用來描述這個維度增長關係的表示方法, 建構出此圖後, 只要數最右邊的 i 個行總共有幾個點, 我們就可以知道Ker((T-λI)^i)的維度會是多少; 要知道每一個cyclic subspace的維度會是多少, 一樣就數該列有幾個點就好了
在找v1,...,vr時, 很重要的一點就是要保持線性獨立, 所以對於點圖中的任一點來說, 假設該點是在右邊數來第 i 行, 那根據維度的增長, 該點所代表的向量就必須是屬於Ker((A-λI)^i)而不屬於Ker((A-λI)^(i-1)), 這樣對Kernel chain的擴增才會有幫助
所以說雖然不知道你問的是哪一題, 但我想你可能把問題打錯了, 你想問的"書上寫：v1=Ker(T-λI)-Ker(T-λI)^2"應該要改成 "v1∈Ker(T-λI)^2-Ker(T-λI)"
用上述的這些觀念回去看看書上的例子, 再回想一下老師說的, 希望可以讓你對做Jordan form的過程更加了解囉
喔~讓我把它串起來：
1.因為在Ker(T-λI)中找不到n個LI的向量、所以根據Kernel chain把空間擴大。因為取v為Ker((T-λI)^k-Ker(T-λI)^(k-1))時，根據獨立擴張定理可確定此向量v和之前取到的向量線性獨立、由此手法一直取下去即可得到V之basis。
2.如果點圖畫出來不只1行、就代表在Ker((T-λI)找不到n個LI的向量、所以不可對角化、但若只有一行就可對角化。(n個LI都存在於Ker((T-λI))
3.gm(λ)就是最右邊的nullity(T-λI)、am(λ)就是總共的點數、gm(λ)不等於am(λ)就不可對角化就是在說點圖中若不只一行就不可對角化。
4.不過我還是不了解為什麼V=Cv1(T)、Cv2(T)、....的直和、不過書上沒證明就只好作罷。
5.是否是因為Ker((T-λI)^k)必定包含Ker((T-λI)^(k-1))、所以極小多項式就取到Ker((T-λI)^k)便可保證A帶入是0呢？
以上麻煩助教了!
1. 循環分解那個證明寫起來會很繁瑣, 所以老師才沒把它寫進來, 你真的很想知道的話google一下其實就可以查得到, 或去圖書館借一些有寫到canonical form的原文書來讀也可以
2. 觀念大致理解上理解的差不多了, 極小多項式的部分, 比較重要的部分就是, 次方數是多少要看的是每個點圖中的第一列有幾個點, 如果小於第一列的點數, 乘出來的函數對某些向量作用就不會是零, 細節的部分書上有寫
了解了。感謝助教的解答
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