(1)
請問projection matrix與 orthogonal projection matrix有什麼不同呢?
我的理解是:若一個projection matrix A，再加上A^t * A = A * A^t =I，則稱之 orthogonal projection matrix。
這理解正確嗎?
(2)
那orthogonal projection matrix A，必定A^t = A嗎?
(還是說projection matrix已經保證A^t=A了呢?)
(3)
我們知道，在歐式空間中的子空間W，且其基底為{v1,v2, ... vn}，A=[v1 v2 ... vn]
則B = A* (A^t * A)^-1 A^t。B為orthogonal projection matrix。
我想問的是，反向成立嗎? 即若B為orthogonal projection matrix，則B可用某矩陣A表示成 A*(A^t * A)^-1 * A^t
5 則留言:
(1) 你的理解沒問題, 雖然有時候 orthogonal projection matrix 會被簡稱為 projection matrix, 不過通常這種情形發生時應該都判斷得出來
(2) 就依照(1)的定義走, projection matrix只滿足idempotent, 不一定要是symmetric
(3) 假設 B= A* (A^t * A)^-1 A^t 為在 CS(A) 上的正交投影矩陣, 取 CS(B) 的一組 basis 出來擺在 C 的行, 則這個被我們造出來的矩陣 C, 會滿足 C*(C^t * C)^-1 * C^t = B, 這與正交投影矩陣的唯一性有關, 所以反向也會成立
http://en.wikipedia.org/wiki/Projection_%28linear_algebra%29
A projection is orthogonal if and only if it is self-adjoint, which means that, in the context of real vector spaces, the associated matrix is symmetric relative to an orthonormal basis: P = PT (for the complex case, the matrix is hermitian: P = (P*)T).
我查wiki時，他給的 orthogonal projection 定義是 P^2=P 且P^t=P。
把這兩個性質合起來驗證其是否orthogonal matrix時， P^t * P = P * P = P，所以 P^t * P = P ，但是orthogonal matrix不是 P^t * P = I = P * P^t嗎?
請問一下
99中山通訊
Given m X m matrix A and B. which statement is not always true?
(b) for any m X 1 vectors x and y, x^HAy=x^HBy iff A=B
在線代題庫班講義5-122
為什麼是對的??
那當x=y=0 時不就不成立了嗎?
to Airman:
以下三者分別被定義在書上的第 5,7,8 章
1. projection matrix: P^2=P
2. orthogonal projection matrix: P^2=P, P^t=P
3. orthogonal matrix: (P^t)P=P(P^t)=I
我之前看你的原問題時看錯了, 造成你的誤解不好意思, projection matrix就只有idempotent, orthogonal projection除了idempotent之外又多了symmetric, 而orthogonal matrix又是另外一個東西, orthogonal projection matrix 有時會被簡寫成 projection matrix, 但正常情況下是不會被縮寫成orthogonal matrix的
to pi: 這邊取的 x, y 是 for all, 這個定理在上課筆記裡應該有, 或請參考書上p8-31的引理8-3
感謝助教回答~
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