Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
第一張圖: 如果可以從ground floor出, 因為全部的可能是 8^3, 因為每個學生要都要從不同樓層出, 則答案就是(8*7*6)/8^3, 如果是不可以從ground floor出, 則答案就是(7*6*5)/7^3第三張圖: (d)這題是false, 當事件發生機率越低, 它所提供的information會越多, 這和entropy有關, 細節請參考information theory的相關書籍(g)這題是true, 可用數學歸納法證, 證明書上有, 請參考第四版p10-16的定理3, 或新版課本p10-15的定理10-2
第四張圖:4. By induction on n, 假設 n=k OK, 即 f(k+1)f(k-1)-f(k)^2 = (-1)^k考慮 n=k+1 時, f(k+2)f(k)-f(k+1)^2= (f(k+1)+f(k))*f(k)-(f(k)+f(k-1))*f(k+1)= f(k+1)f(k)+f(k)^2-f(k)f(k+1)-f(k-1)f(k+1)= f(k)^2-f(k-1)f(k+1)= (-1)^(k+1)5. first derivative指的是一階導數 ∞(a) G(x)=Σ a_n x^n n=0 ∞=> G'(x)=Σ n * a_n x^(n-1) n=1 ∞= Σ (n+1) * a_(n+1) x^n n=0所以 G(x)-G'(x) ∞= Σ ((n+1)*a_(n+1)-a_n) x^n n=0 ∞= Σ (1/n!) x^n (->根據題意) = e^x n=0(b) 因為(e^-x*G(x))'=-e^-x*G(x)+e^-x*G'(x)= e^-x*(G'(x)-G(x)) = e^-x*e^x = 1所以 e^-x*G(x)=x+c, 其中 c 為 constant=> G(x) = e^x*(x+c)將 G(0)=1 代入可解得 c=1所以 G(x) = e^x*(x+1)(c) G(x) = e^x*(x+1) ∞= (x+1)Σ x^r/(r!) r=0 => a_n = x^n 之係數 = 1/(n-1)! + 1/n!
最後一張: Q(a): 不是的, 這裡的symmetric和我們平常定義的對稱關係意思是一樣的, 只是裡面有很多個pair, 所以容易產生混淆; 舉個例子, 因為 R 為 symmetric, 所以如果 (({2},1)) R ({1,2,3},2) => ({1,2,3},2) R (({2},1))因為 2^PxQ 有 8*2=16 個 element, 考慮其 relation matrix, 可算出這裡總共會有 2^((16*17)/2) = 2^136 個 symmetric relationQ(b): 是的
真是謝謝助教一次回答這麼多問題 感恩
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第一張圖: 如果可以從ground floor出, 因為全部的可能是 8^3, 因為每個學生要都要從不同樓層出, 則答案就是(8*7*6)/8^3, 如果是不可以從ground floor出, 則答案就是(7*6*5)/7^3
第三張圖:
(d)這題是false, 當事件發生機率越低, 它所提供的information會越多, 這和entropy有關, 細節請參考information theory的相關書籍
(g)這題是true, 可用數學歸納法證, 證明書上有, 請參考第四版p10-16的定理3, 或新版課本p10-15的定理10-2
第四張圖:
4. By induction on n, 假設 n=k OK,
即 f(k+1)f(k-1)-f(k)^2 = (-1)^k
考慮 n=k+1 時, f(k+2)f(k)-f(k+1)^2
= (f(k+1)+f(k))*f(k)-(f(k)+f(k-1))*f(k+1)
= f(k+1)f(k)+f(k)^2-f(k)f(k+1)-f(k-1)f(k+1)
= f(k)^2-f(k-1)f(k+1)
= (-1)^(k+1)
5. first derivative指的是一階導數
∞
(a) G(x)=Σ a_n x^n
n=0
∞
=> G'(x)=Σ n * a_n x^(n-1)
n=1
∞
= Σ (n+1) * a_(n+1) x^n
n=0
所以 G(x)-G'(x)
∞
= Σ ((n+1)*a_(n+1)-a_n) x^n
n=0
∞
= Σ (1/n!) x^n (->根據題意) = e^x
n=0
(b) 因為(e^-x*G(x))'=-e^-x*G(x)+e^-x*G'(x)
= e^-x*(G'(x)-G(x)) = e^-x*e^x = 1
所以 e^-x*G(x)=x+c, 其中 c 為 constant
=> G(x) = e^x*(x+c)
將 G(0)=1 代入可解得 c=1
所以 G(x) = e^x*(x+1)
(c) G(x) = e^x*(x+1)
∞
= (x+1)Σ x^r/(r!)
r=0
=> a_n = x^n 之係數 = 1/(n-1)! + 1/n!
最後一張:
Q(a): 不是的, 這裡的symmetric和我們平常定義的對稱關係意思是一樣的, 只是裡面有很多個pair, 所以容易產生混淆; 舉個例子, 因為 R 為 symmetric, 所以如果 (({2},1)) R ({1,2,3},2) => ({1,2,3},2) R (({2},1))
因為 2^PxQ 有 8*2=16 個 element, 考慮其 relation matrix, 可算出這裡總共會有 2^((16*17)/2) = 2^136 個 symmetric relation
Q(b): 是的
真是謝謝助教一次回答這麼多問題 感恩
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