線代
第二題
a.是說 此矩陣的eigenvalue是矩陣行數 倍數的意思嗎?
可對角話當然dim(ker(A-λI))不同的λ 相加維度會是N維
不知道跟題目有什麼關係orz
b.我只知道A為可逆矩陣 第二小提意思是要我A可逆的條件去證她嗎?
pf:
因為A為可逆=>行獨立
A[a1v1 a2v2 a3v3.......]
因為可逆*可逆仍為可逆
所以[Aa1v1 Aa2V2........]
其rank也是n故得證
這樣證明OK嗎?
第4題 d:F e:T f:F g:T 這樣答案對嗎?
g之證明如下
因為(I-A*A^T)X為N(A^T)的向量
A^T(I-A*A^T)X
=>(A^T-A^T*A*A^T)X
=>(A^T-A^T)X=0
這樣證對嗎?
第5題的d 他是要我用N去表示遞回嗎?
所以直接寫費氏數的版本就OK囉?@@
e 不知道怎麼算 懇請幫助
以上題目麻煩大家解答 感恩
2 則留言:
第二題：是此eigenvalue λ的"重數"為n，因為可對角化所以gm=am，所以gm = dim(ker(A-λI)) = am = n
第4題：應該都對的樣子…，g的證明我是用<(I-A*A^T),Ax>和column space做內積，推到最後會為0，所以是垂直
2.
(a) λ 的 multiplicity 是 n 的意思就是 am(λ)=n, 而由 A 可對角化可知 A 具有 n 個線性獨立的 eigenvectors, 且因為 A 的 eigenvalue 就只有λ, 所以 gm(λ)=n
=> nullity(A-λI)=n
=> rank(A-λI)=0
=> A-λI=0
=> A=λI
(b) 差不多, 他希望你用linearly independent的定義來證, 寫法上就是:
假設 α_1(Av_1)+...+α_n(Av_n)=0
=> A((α_1)(v_1)+...+(α_n)(v_n))=0
=> (α_1)(v_1)+...+(α_n)(v_n)=(A^-1)0=0
因為 v_1,...,v_n 為 linearly independent
=> α_1=...=α_n=0
或者用 nonsingular 的定義來寫也可以
4. OK
5.
(d) 是的, 就是把矩陣乘出來解遞迴, 算出
x_n = (α^n-β^n)/sqrt(5),
其中 α=(1+sqrt(5))/2, β=(1-sqrt(5))/2
(e) 老師在離散上到Fibonacci number那裡時應該有提過, 這就是golden ratio, 因為β^n的極限值為0, 所以 lim(x_n/x_(n-1))=α, as n approaches infinity
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