Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
老師上課時在提到一個是abelian但不為cyclic的反例時所找到的那個Klein 4-group就是一個最小的非循環群
嗯 可是我有一個問題是說 那是因為它是o(G)=4 而K4的order是2可是K4order是2應該也算是循環群吧!!之後我想了一下他之所以不是循環群是因為它有4個變數而order必須也要是4 才可以算是循環群嗎?
order這個詞分別在群以及群裡面的element上都有定義, 你要稍微注意一下這裡不要搞混了, 在群上定義的order指的就是群的大小, 在一個群裡面的element上所定義的order指的是使得 a^n=e 的最小正整數 n, 它同時也會是用 a 所造出來的循環子群的大小; 所以根據上面的定義, K_4 的 order 是 4, 不是 2只要 G 裡面有存在一個元素 a, 會使得 <a> = {a, a^2, a^3, ...} = G, 則 G 為循環群, 其中 k=。(G), 也就是說這個循環子群與 G 的大小相同; 因為這個 k 也被定義為是 a 的 order, 所以如果一個group G裡面沒有一個元素的order有達到。(G), 那麼 G 就不會是循環群; 因為 Klein 4-group 裡面的每個元素的order都不超過 2, 也就是說都沒有達到4, 所以 K_4 不為循環群
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老師上課時在提到一個是abelian但不為cyclic的反例時所找到的那個Klein 4-group就是一個最小的非循環群
嗯 可是我有一個問題是說
那是因為它是o(G)=4 而K4的order是2
可是K4order是2應該也算是循環群吧!!
之後我想了一下他之所以不是循環群是因為它有4個變數而order必須也要是4 才可以算是循環群嗎?
order這個詞分別在群以及群裡面的element上都有定義, 你要稍微注意一下這裡不要搞混了, 在群上定義的order指的就是群的大小, 在一個群裡面的element上所定義的order指的是使得 a^n=e 的最小正整數 n, 它同時也會是用 a 所造出來的循環子群的大小; 所以根據上面的定義, K_4 的 order 是 4, 不是 2
只要 G 裡面有存在一個元素 a, 會使得 <a> = {a, a^2, a^3, ...} = G, 則 G 為循環群, 其中 k=。(G), 也就是說這個循環子群與 G 的大小相同; 因為這個 k 也被定義為是 a 的 order, 所以如果一個group G裡面沒有一個元素的order有達到。(G), 那麼 G 就不會是循環群; 因為 Klein 4-group 裡面的每個元素的order都不超過 2, 也就是說都沒有達到4, 所以 K_4 不為循環群
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