Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
筆記演算到最後det(A)=1+ytx若ytx=-1 rank(A)<n否則A可逆rank(A)=n
首先因為 v'u≠0 => u,v≠0(1) Au = (I+uv')u = u+(v'u)u = (1+v'u)u=> u 為 A 相對於 1+v'u 之 eigenvector(2) 取 S={x_1,x_2,...,x_(n-1)} ∈ per(span{v}), 為一個具有 n-1 個向量的線性獨立集, 則 Ax_i = (I+uv')x_i = x_i+0u = x_i, for i=1,...,n-1所以由(1),(2), A 之 eigenvalue 為 1+v'u,1,...,1, 其中 1 有 n-1 個所以 det(A)=1+v'u => rank(A)=n iff v'u≠-1
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筆記演算到最後
det(A)=1+ytx
若ytx=-1
rank(A)<n
否則
A可逆rank(A)=n
首先因為 v'u≠0 => u,v≠0
(1) Au = (I+uv')u = u+(v'u)u = (1+v'u)u
=> u 為 A 相對於 1+v'u 之 eigenvector
(2) 取 S={x_1,x_2,...,x_(n-1)} ∈ per(span{v}),
為一個具有 n-1 個向量的線性獨立集,
則 Ax_i = (I+uv')x_i = x_i+0u = x_i, for i=1,...,n-1
所以由(1),(2), A 之 eigenvalue 為 1+v'u,1,...,1,
其中 1 有 n-1 個
所以 det(A)=1+v'u
=> rank(A)=n iff v'u≠-1
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