我用反證
Claim A不可逆->adj(A)不可逆
det(A) = 0 , A必有0列(行)，設A具0行第 k column
adj(A)=[Bij]= cof(aji)
存在 cof(aji) = 0 , i 不等於 k , j=1,....,n -> adj(A) 具0列
det(adj(A)) = 0 -> adj(A) 不可逆
可以幫我看一下這樣證哪邊寫不恰當
這句是我想對非0(列)行取餘因子=0，我想不太到怎麼描述
(存在 cof(aji) = 0 , i 不等於 k , j=1,....,n -> adj(A) 具0列)
3 則留言:
你可以寫說如果 A 的第 k 行為零行, 則 for all i≠k, cof(a_ji)=0, for j=1,...,n, 所以 adj(A) 的第 i 列為零列
不過這個證明會有問題, 原因出在第一句話就寫錯了, det(A)=0並不代表 A 必有零行(or列), 僅代表有linearly dependent的行(or列)
可是有定理是 a可逆<->rank(a)=n
a不可逆<->rank(a)<n
這不就是說a具0列
rank是空間維度的觀念, 它指的不是非零向量的個數, rank(A)<n 的意思不是 A 具零列, 而是指我們在 A 中不可能找到 n 個線性獨立的列, e.g., A =
[1 2]
[2 4], det(A)=0 但 A 不具零列
如果一個 A:nxn 為不可逆, 則會具有零列的是 A 的 row-echelon form, 而不是 A 這個矩陣本身
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