Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
這三題其實都是基本上課有教過的概念,(1) 你可以試著想想你要證的還有已知是什麼, 像這幾題用定義都很好處理, 只要想清楚起頭和終點, 順順的推應該都沒問題; 第 1 小題根據定義可知 A 為方陣且 a_i,j=-a_j,i, for all i,j 所以由 a_i,i=-a_i,i 就可以得到 a_i,i=0, for i=1,...,n; 第 2 題令 C=A+B, 其中 A,B 皆為 skew-symmetric, 那麼你想要證的應該會是 C^T = -C, 中間的過程就是 (A+B)^T = A^T + B^T = -A + -B, 第 3 題也是一樣的意思所以留給你自己想了(2) 把圖畫出來這應該沒問題, 要找 shortest path 你可以用上課教過可以算由一個單點 a 至圖上各點之 shortest path 的 Dijkstra's演算法, 對起點為P2的做一次找出由P2到P5的最短路徑, 然後對P3再run一次演算法找出P3至P2的最短路徑; 如果你不想要一個演算法跑兩遍的話, 書上另外有兩個方法, 分別是Floyd's和Warshall's algorithm, 這兩者都可以直接算出 all-pairs shortest path(3) 令 x=[x1 x2]^T, y=[y1 y2]^T, 取 P=(1/sqrt(5))*[2 1; -1 2] 可求得 x=Py, standard form 為 (y1/4)^2 + y2^2 = 1, 細節請參考上課筆記或書上 chap8-8 二次式的應用那一節
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這三題其實都是基本上課有教過的概念,
(1) 你可以試著想想你要證的還有已知是什麼, 像這幾題用定義都很好處理, 只要想清楚起頭和終點, 順順的推應該都沒問題; 第 1 小題根據定義可知 A 為方陣且 a_i,j=-a_j,i, for all i,j 所以由 a_i,i=-a_i,i 就可以得到 a_i,i=0, for i=1,...,n; 第 2 題令 C=A+B, 其中 A,B 皆為 skew-symmetric, 那麼你想要證的應該會是 C^T = -C, 中間的過程就是 (A+B)^T = A^T + B^T = -A + -B, 第 3 題也是一樣的意思所以留給你自己想了
(2) 把圖畫出來這應該沒問題, 要找 shortest path 你可以用上課教過可以算由一個單點 a 至圖上各點之 shortest path 的 Dijkstra's演算法, 對起點為P2的做一次找出由P2到P5的最短路徑, 然後對P3再run一次演算法找出P3至P2的最短路徑; 如果你不想要一個演算法跑兩遍的話, 書上另外有兩個方法, 分別是Floyd's和Warshall's algorithm, 這兩者都可以直接算出 all-pairs shortest path
(3) 令 x=[x1 x2]^T, y=[y1 y2]^T, 取 P=(1/sqrt(5))*[2 1; -1 2] 可求得 x=Py, standard form 為 (y1/4)^2 + y2^2 = 1, 細節請參考上課筆記或書上 chap8-8 二次式的應用那一節
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