Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
這個問題用一般解遞回的方式來解聯立就好, 類似的解法請參考離散書上p5-64例30, 但我不知道為什麼你下的是線代這個標題, 如果你真的想用矩陣來解這個問題, 設 A=[-2 -4; 4 6], x_n = [a_n b_n]^T => x_n = A*x_(n-1) = ... = (A^n)x_0, 其中 x_0=[1 0]^T然後計算 Jordan form, 取 P=[1 -4; 0 4], J=[2 0;1 2], 則 A = PJ(P^-1), A^n = P[2^n 0; n*2^(n-1) 2^n](P^-1) => x_n = [(1-2n)2^n n2^(n+1)]^T, 所以 a_n = (1-2n)*2^n, b_n = n*2^(n+1), n>=0
因為我有看到解答 有用cayley-hamilton 下去解但是我還是看不太懂
若要改成用Caeley-Hamilton定理, 那和上面的做法還是差不多的, 差別只是求 A^n 的解法我上面是用Jordan form而已, 上面的推導不變, 利用泰勒展開式可求出A^n=n2^(n-1)A+(1-n)2^n, 最後再乘上x_0即可, 這裡求A_n的解法在6-4的上課筆記或是書上那一節應該都有
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這個問題用一般解遞回的方式來解聯立就好, 類似的解法請參考離散書上p5-64例30, 但我不知道為什麼你下的是線代這個標題, 如果你真的想用矩陣來解這個問題, 設 A=[-2 -4; 4 6], x_n = [a_n b_n]^T => x_n = A*x_(n-1) = ... = (A^n)x_0, 其中 x_0=[1 0]^T
然後計算 Jordan form, 取 P=[1 -4; 0 4], J=[2 0;1 2], 則 A = PJ(P^-1), A^n = P[2^n 0; n*2^(n-1) 2^n](P^-1) => x_n = [(1-2n)2^n n2^(n+1)]^T, 所以 a_n = (1-2n)*2^n, b_n = n*2^(n+1), n>=0
因為我有看到解答 有用cayley-hamilton 下去解
但是我還是看不太懂
若要改成用Caeley-Hamilton定理, 那和上面的做法還是差不多的, 差別只是求 A^n 的解法我上面是用Jordan form而已, 上面的推導不變, 利用泰勒展開式可求出A^n=n2^(n-1)A+(1-n)2^n, 最後再乘上x_0即可, 這裡求A_n的解法在6-4的上課筆記或是書上那一節應該都有
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