Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
因為放入箱子的次序是有關的, 所以選 m 個放入 S 的方法數就是 k(k+1)...(k+m-1), 則 a_n = Σ c(n,m)*k(k+1)...(k+m-1), m=0~nclaim: Σa_n x^n/n! = e^x/(1-x)^kpf: (1) a_n = Σc(n,m)*(k+m-1)!/(k-1)!, m=0~n= Σ n!(k+m-1)!/m!(n-m)!(k-1)!= Σ c(k+m-1,m)*n!/(n-m)!(2) 因為 e^x/(1-x)^k = (1+x+x^2/x!+...)Σc(k+r-1,r)x^r, r=0~∞則 x^n/n! 之係數為 c(k+0-1,0) + c(k+1-1,1)n + ... + c(k+n-1,n)n!= Σc(k+m-1,m)*n(n-1)...(n-m+1), m=0~n= Σc(k+m-1,m)*n!/(n-m)!由 (1),(2), 左式=右式得證
請問Σa_n式代表什麼意思?
Σa_n x^n/n! = the exponential generating function for the number of ways to ... 一直到題目的最後
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因為放入箱子的次序是有關的, 所以選 m 個放入 S 的方法數就是 k(k+1)...(k+m-1), 則 a_n = Σ c(n,m)*k(k+1)...(k+m-1), m=0~n
claim: Σa_n x^n/n! = e^x/(1-x)^k
pf: (1) a_n = Σc(n,m)*(k+m-1)!/(k-1)!, m=0~n
= Σ n!(k+m-1)!/m!(n-m)!(k-1)!
= Σ c(k+m-1,m)*n!/(n-m)!
(2) 因為 e^x/(1-x)^k
= (1+x+x^2/x!+...)Σc(k+r-1,r)x^r, r=0~∞
則 x^n/n! 之係數為
c(k+0-1,0) + c(k+1-1,1)n + ... + c(k+n-1,n)n!
= Σc(k+m-1,m)*n(n-1)...(n-m+1), m=0~n
= Σc(k+m-1,m)*n!/(n-m)!
由 (1),(2), 左式=右式得證
請問Σa_n式代表什麼意思?
Σa_n x^n/n! = the exponential generating function for the number of ways to ... 一直到題目的最後
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