Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
麻煩解答了 謝謝
21. (A) T, 根據題意可知不同games的個數最多為c(k,2)(B) F, 反例可取 k=m=3, G=[1 1 0; 1 0 1; 0 1 1](C) F, 應該是 #games the ith person involves(D) T, 因為 G 為 kxk, 而對角線元素共有 k 個, 所以off diagonal elements的總數為 k^2-k = k(k-1)(E) F, 取(B)的matrix G 即為反例22. (C) for all y!=0, 因為 X 行獨立, 所以 X 為 nonsingular => Xy!=0, 因為 A 為正定, (y^T)By = (y^T)(X^T)AXy = ((Xy)^T)A(Xy) > 0, 所以 B 為正定(D) 可以利用 (C),(E) 這兩個小題給的hint: 首先我們令 X = [β (v^T)/β; 0 I_(n-1)], 也就是(E)裡面最右邊的那個矩陣, 則 X 為可逆且 rank(X) = n => [1 0^T; 0 B-(vv^T)/α] = ((X^T)^-1)A(X^-1)根據(C), 可得知 [1 0^T; 0 B-(vv^T)/α] 為正定=> B-(vv^T)/α 為正定
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21.
(A) T, 根據題意可知不同games的個數最多為c(k,2)
(B) F, 反例可取 k=m=3, G=[1 1 0; 1 0 1; 0 1 1]
(C) F, 應該是 #games the ith person involves
(D) T, 因為 G 為 kxk, 而對角線元素共有 k 個, 所以off diagonal elements的總數為 k^2-k = k(k-1)
(E) F, 取(B)的matrix G 即為反例
22.
(C) for all y!=0, 因為 X 行獨立,
所以 X 為 nonsingular => Xy!=0, 因為 A 為正定,
(y^T)By = (y^T)(X^T)AXy = ((Xy)^T)A(Xy) > 0,
所以 B 為正定
(D) 可以利用 (C),(E) 這兩個小題給的hint:
首先我們令 X = [β (v^T)/β; 0 I_(n-1)], 也就是(E)裡面最右邊的那個矩陣, 則 X 為可逆且 rank(X) = n
=> [1 0^T; 0 B-(vv^T)/α] = ((X^T)^-1)A(X^-1)
根據(C), 可得知 [1 0^T; 0 B-(vv^T)/α] 為正定
=> B-(vv^T)/α 為正定
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