在離散數學上冊的第1-61頁
看了老師課本上的證明
有幾點疑惑 ...
question1:為什麼會知道a跟a的反元素的範圍再 2 ～ p-2,之間？
question2: 在證明中有一句, "根據引理3, a= a^-1 <=> a=1 或 a = p-1"
其中我還是不太了解, a = 1 或 a = p-1 是如何取得的？
question3:除了a＝1及a＝P-1會導致aa^(-1) ≡ 1 (mod p),以外
為什麼另外P-3個數分成兩堆,導致兩兩一對的反元素皆在裡面？
煩請老師解惑.......
4 則留言:
1. 主要是根據定義15
2. 根據Lemma 3,
a=a^-1 iff a=1 或 a = -1 = p-1
3. 主要是根據你Q1裡的結果, 因為inverse唯一存在, 所以在2到p-2之間的數會兩兩形成一個彼此互為inverse的pair (若ab=1且ac=1 => ab=ac => b=c)
另證你參考看看. consider the the field Z(p)
then Z(p)-{0} is a MULTIPLICATIVE GROUP
given any a in Z(p) ，a^(-1) exist
consider the equation x^2-1=0 in Z(p) then x=1 or x=-1=p-1(也就是說
在Z(p)-{0} 中 除了1與p-1之inverse 是自己，其他的element 之inverse 皆在2-p-2 之間)
then we have (p-1)!=1*2*3*...(p-2)*(p-1)=p-1=-1 in Z(p)
故 可得 (p-1)!=-1 mod p
[想請問一下老師mail 是多少..有人知道的拜託提供一下..很急..]
當考慮p>3時,因為gcd(a,p)=1,
根據反元素定義可知,x屬於Z ,ax = 1 (mod p),以例子來想,當P=11時,
等於 a=1(mod 11),可以有下列結果,
1X1 = 2X6 = 3X4 = 5X9 = 7X8 = 10X10 = 1 (mod11),而x＝11時,
因為11a=1(mod11),a不可能存在,而x＝12時,12a=1(mod11),a=1 相當於4X3=1(mod11),由此可知1≦a≦P-1,
又因為a＝a的反元素時,a等於1或P-1所以可知,a≠a的反元素時,2≦a≦P-2
2.因為a和a的反元素皆介於2~P-2中,所以可以分成兩堆,一堆是a,另一堆是a的反元素,其中每一對的乘積為1所以得到(2345...(P-2))=1(mod p)
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