大前提: T為 linear transformation
假設 V 與 V' 為兩個有限維的向量空間.
根據定理4-18 (上冊p4-78)：
若 T為one-to-one且onto => dim(V)=dim(V')
我知道單純的反向回去是不對的，應該是:
定理4-20(上冊p4-81)：
若 dim(V)=dim(V') => 若T為one-to-one的話，也會是onto.
故我的認知是：反向回去不對，因為T未必會是one-to-one
但根據注意事項4-10(上冊p4-29)： 『同維 即 同構』
而再根據定義4-4(上冊p4-27)：
同構即存在一同構函數T，滿足T為one-to-one且onto
故我的認知是：
dim(V)=dim(V') => 同維 => 同構 => 存在同構函數T 滿足T為one-to-one且onto.
那這樣的話，反向回去「好像」也是對的 ?
請問我這個論點哪裡有問題 ?
8 則留言:
你是不是有少看什麼條件呢?
很簡單 請見以下兩個等價句
(1) Suppose T is an 1-1 onto linear operator from V to V'. T is 1-1 and onto if and only if dim(V)=dim(V').
(2) There exists an 1-1 onto linear operator from V to V' if and only if dim(V)=dim(V').
試問 true of false 呢？
有點混亂了...
意思是不是:
反向回去是exist、for some而已
而不是for all?
即dim(V)=dim(V')的話，反向回去
的確可以"找到"有一個T是1-1 and onto
但並不是"所有"的T都是1-1 and onto
我這樣的理解對嗎??
我是補黃子嘉老師的學生
請問一下我要怎麼寄信丫
我剛加入g-mail
可不會用
Exactly right:)
補充一下
在你原始文裡面第一句話就是
大前提: T為 linear transformation
即表示 T 是給定的
可是你後來又說
同構即存在一同構函數T
如果你這句話的 T 改用其他符號, 那邏輯上就沒問題了, 這也是要盡量避免的錯誤, 舉個例子, 比如說 xy-平面上的直線參數式函數
{(t,1+t):t\in R} 是一條斜率1通過(0,1)的直線, 而{(1-t,t):t\in R}是一條斜率-1通過(0,1)的直線, 那求交點的時候令
(t,1+t)=(1-t,t) => 無解
所以在表示的時候應該使用不同符號, 即
{(t,1+t):t\in R} 和 {(1-s,s):s\in R}
這樣才不會有問題.
您想一下喔, 反向會變什麼什麼?
Support that T : V -> V' is linaer
dim(V) = dim(V') => T is 1-1, onto
翻成白話文變成, 任給一個T, 當dim(V) = dim(V')時, T皆為1-1 and onto, 這裡的T會變成for all T
而同構是說存在一個T : V -> V' linear, 1-1 and onto
To tina: 你點一下進畫面時右上角的公告, 再翻一下就會看到怎麼寄信了
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