Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
我想你只要證明 2 >= (1+1/k)^3 for k>=1000 即可. 注意 (1+1/k)^3 是遞減的, 同時 k=1000 也成立, 所以是成立的. 所以此題的 induction step 可以這樣2^{k+1}=2*2^k>(1+1/k)^3*k^3=(k+1)^3
當k增加時，(k+1)/k 的確是遞減，但((k+1)/k)^3並不會直接小於(k+1)/k，所以寫「(1+1/k)^3 是遞減的」可能會造成誤解。老師原本的想法其實是這樣：2>1+1/10=11/10=1100000000/1000000000>1003003001/1000000000=(1+1/1000)^3>=(1+1/k)^3 for k>=1000
呃..我想說的是(1+1/k)^3 "整個"是遞減的(包含三次方)，所以我不是需要((k+1)/k)^3直接小於(k+1)/k，也就是說 (1+1/k)^3變小當k變大而且k=1000時這個值也小過 2. 所以 for k>=1000 都成立. i.e. 2>=(1+1/k)^3 for k>=1000.By Induction hypothesis, 2^k > k^3.所有都是大於零的數, 所以大的乘大的還是大於小的乘小的.
給「凱」：我瞭解你想表達的，我也不是在說你寫錯或思考錯誤，而是說你的寫法可能會造成讀者誤解 :)
喔... 哈 sorry
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我想你只要證明 2 >= (1+1/k)^3 for k>=1000 即可. 注意 (1+1/k)^3 是遞減的, 同時 k=1000 也成立, 所以是成立的.
所以此題的 induction step 可以這樣
2^{k+1}=2*2^k>(1+1/k)^3*k^3=(k+1)^3
當k增加時，(k+1)/k 的確是遞減，但((k+1)/k)^3並不會直接小於(k+1)/k，所以寫「(1+1/k)^3 是遞減的」可能會造成誤解。
老師原本的想法其實是這樣：
2>1+1/10=11/10
=1100000000/1000000000
>1003003001/1000000000
=(1+1/1000)^3
>=(1+1/k)^3 for k>=1000
呃..我想說的是(1+1/k)^3 "整個"是遞減的(包含三次方)，所以我不是需要((k+1)/k)^3直接小於(k+1)/k，也就是說
(1+1/k)^3變小當k變大而且k=1000時這個值也小過 2. 所以 for k>=1000 都成立.
i.e. 2>=(1+1/k)^3 for k>=1000.
By Induction hypothesis, 2^k > k^3.
所有都是大於零的數, 所以大的乘大的還是大於小的乘小的.
給「凱」：
我瞭解你想表達的，我也不是在說你寫錯或思考錯誤，而是說你的寫法可能會造成讀者誤解 :)
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