如第3題，
對於T-cyclic subspace不太瞭解，
如題目{v, T(v), T^2(v), T^3(v)} is a T-cylic basis for R^4
題目又說：each eigenspace of T is one-dimensional
加上代數重數大於幾何重數，那就等價{v, T(v), T^2(v), T^3(v)} 有4個相異eigenvalue了
我一直以為 v 即使不是取 eigenvector,
但{v, T(v), T^2(v), T^3(v)} 應該會共用同一個eigenvalue吧？
（類似上課教的做Jordan form的第一列點圖）
看了題目顯然我的理解是錯的
但是我不知道我的觀念錯在哪裡
請指正 謝謝...........................
1 則留言:
符合 cyclic subspace 定義的那個 v 不一定要像是在作 jordan form 時, 從kernel chain裡面取出來的那種, 事實上每個 v∈V 都可以generate出一個cyclic subspace, 只是可能空間和維度都會不一樣, 所以和eigenvalue自然也就不一定有關聯
然而就像你所觀察到的, 因為此題中的eigenvalue全相異, 所以如果想要找到那個 v, 使得它的cyclic subspace 會是整個 R^4, 那麼從 ker(T-λI) 裡面去找是沒甚麼希望了, 所以我是從其他地方去把那個 v 找出來證的, 你也可以用這種方法試看看
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