離散-H為finite時子群的證明

助教好,

想請問這個定理,右邊證左邊時老師上課提到 a^j-a^i=e ,j>i是因為消去性,我的疑惑是消去性
是因為有inverse造成,而這題不是就在證a^-1屬於H,為什麼還沒證出來就可以先用消去性呢?
謝謝!!