Q1. (P.5-49 範例8)
題
解
我想請問的是為什麼解答的 n = k-1 的矩陣，他的最右上一個元素會是 -a1 而不是 -a0 呢?
Q2. (P5-80 注意事項 5-28 (3))
(3) A, B可同步對角化表示 A, B皆可對角化且 A, B 具相同的特徵向量
我想問如果這個敘述成立，是否保證 A和B 具有相同的 eigenvalue?
因為根據 P. 5-37 注意事項 5-15： "二個矩陣相似具有相同的特徵根，但特徵向量未必相同"
所以 A, B具有相同的特徵向量，是否就保證A, B 具有相同的特徵根?
Q3. (P5-95 範例16)
我想先請問矩陣的基本性質，根據第一章所描述， AB = BA 未必成立
那是否： 若 AB = BA，則 A = B ?
即：如果已知 AB = BA，是否保證 A=B 呢?
(還是前面章節有我忘記了???)
如果是這樣的話，則範例16
能不能這樣解呢? (我寫在上面 "My Solution")
謝謝助教
2 則留言:
1. 您的想法也是對的, 但其實這裡的index不是很重要, 矩陣的形式才是重點, 只要特徵多項式根據假設有寫對即可, 因為我們想描述的是, 對任何k-1 x k-1的那個矩陣型式, 該命題都會對, 所以要寫哪一種, 主要是要看我們在數學歸納假設會用到的是哪個部分
這裡書上會寫出那個矩陣, 是因為他接下來是對第一列作展開, 展開之後a11項的餘因子才是我們會利用到I.H.的部分, 所以他才會去假設該命題在從a1開始的矩陣會成立
在做數學歸納假設時
記得要掌握住你想看到的前一項的形式
那才是最重要的
2. 不一定噢, 簡單的反例可找兩個對角矩陣
3. 這個也不會成立, 比方說取
A =
1 0
0 0
B =
0 0
0 1
即為反例
明白了，謝謝助教!
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