為何要分開討論sinθ是否為0？不能直接算特徵多項式嗎？
紅色框框的部份，為什麼cosθ± i sinθ=後面那個？
2.P5-106範例2
第一小題怎麼知道要乘以(I-1/2E)？
3.P5-107範例3
題目看完不知道該從何下手，雖然事後看了解答知道它在算什麼，可是我沒有完全了解遇到這題要用到怎樣的觀念去解它
麻煩助教幫我解答一下
謝謝!!
Research Space for Linear Algebra & Discrete Mathematics
4 則留言:
才學書淺
回答自己比較瞭解的部分
2.因為idempotent
使得E^2=E
所以一定會想用到這性質的
如果可以在運算中把E消掉
不就是答案嗎?
所以我要保留I
令(I+E)(I+αE)=I
I+E+αE+αE^2=I
E(1+α)+αE^2=0
E(1+α)+αE=0
E(1+2α)=0
α=-1/2
3.的看法
題目就有說是T^2=T了
A^2=A => Im(A)⊕ker(A)
也就是說sylvesters 2nd law
的都可以用喔
而裡面除了
x=u-Au
Ax=Au-(A^2)u=0
x屬於ker(A)
其他都指定義
而且定義的R(A)//這邊是RS(A)
也都沒用到
1. [第三版P5-49範例7]
(1) 可以直接算特徵多項式, 不過這裡因為要求的是eigenvector, 那麼當我們算到p5-50的V(e^iθ)和V(e^-iθ)時, 就會發現這時候sinθ等於或不等於0必須要分開來討論, 因為這會關係到eigenspace的維度, 所以書上才把sinθ=0的case先寫到前面來
(2) cos x + i sin x = e^(ix)
這個是很有名的 Euler's formula
再問個一下蠢問題
P5-107範例3為何E(A)最後會等於C(A)？
還有助教說
"當我們算到p5-50的V(e^iθ)和V(e^-iθ)時, 就會發現這時候sinθ等於或不等於0必須要分開來討論, 因為這會關係到eigenspace的維度"
這句話我還是不太懂:(
1. (P5-107範例3) 因為根據 E(A) 的定義, E(A)=V(1), 且因為 A 為 idempotent matrix, 根據p5-104的定理5-31, V(1)=C(A), 所以 E(A)=C(A)
2. 如果sinθ=0, 則在p5-50的那個 A-e^iθ 就會是零矩陣, 這時就不能寫 V(e^iθ) 等於 span{[i 0]}, 因為 V(e^iθ)=C^2-{(0,0)}, V(e^-iθ)同理
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